Thứ 7, ngày 7 tháng 6 năm 2014.
Thời gian làm bài 120 phút.
Câu 1.
Cho biểu thức $A=(\frac{x+2\sqrt{x}+4}{x \sqrt{x}-8} + \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}) : (3+\frac{1}{\sqrt{x}-2} + \frac{2}{\sqrt{x}+1})$.
1. Rút gọn $A$.
2. Tìm giá trị của $x$ để $A>1.$
Câu 2.
1. Giải phương trình: $x^2+2x+7=3\sqrt{(x^2+1)(x+3)}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^2+y^2=3-xy \\ x^4+y^4=2 \end{cases}.$
Câu 3.
Cho phương trình (ẩn $x$): $x^2-3(m+1)x+2m^2+5m+2=0.$ Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $|x_1 +x_2|=2|x_1 - x_2|$.
Câu 4.
Cho tam giác nhọn $ABC (AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC.$ Gọi $P, Q$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $H$ đến các cạnh $AB, AC.$
1. Chứng minh rằng $BCQP$ là tứ giác nộ tiếp.
2. Hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ cắt nhau tại $M.$ Chứng minh rằng $MH^2=MB.MC.$
3. Đường thẳng $MA$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ ($K$ khác $A$). Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCQP$. Chứng minh rằng ba điểm $I, H, K$ thẳng hàng.
Câu 5.
Chứng minh rằng $1+\frac{2} {2}+\frac{3} {2^2}+\frac{4} {2^3}+...+\frac{2014} {2^{2013}}+\frac{2015} {2^{2014}}<4$
Hết.
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Ngoại ngữ, ĐHQG Hà Nội
#1
Đã gửi 07-06-2014 - 23:15
- moriran01101999, lehoangphuc1820 và Silent Night thích
#2
Đã gửi 08-06-2014 - 06:13
Câu 2: a) Pt tương đương $x^{2}+1+2(x+3)=3\sqrt{(x^{2}+1)(x+3)}$. Đặt $\sqrt{x^{2}+1}=a;\sqrt{x+3}=b$
Ta có $a^{2}-3ab+2b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(a-2b)=0$
$a=b\Rightarrow x=-1;x=2$
$a=2b\Rightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{15}}{2}$
- skyfallblack2 yêu thích
#3
Đã gửi 08-06-2014 - 06:23
Câu 2: b) Từ pt (2) ta có $\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2x^{2}y^{2}=2\Rightarrow \left ( 3-xy \right )^{2}-2x^{2}y^{2}=2$
$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+6xy-7=0\Leftrightarrow (xy-1)(xy+7)=0$
Với xy = 1. Ta có hệ sau $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & \\ xy=2 & \end{matrix}\right.$
Với xy = -7. Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=10 & \\ xy=-7 & \end{matrix}\right.$
Các hệ trên đều đối xứng loại I....
- skyfallblack2 và thuylip thích
#4
Đã gửi 08-06-2014 - 09:01
Câu 5.
Chứng minh rằng A=$1+\frac{2} {2}+\frac{3} {2^2}+\frac{4} {2^3}+...+\frac{2014} {2^{2013}}+\frac{2015} {2^{2014}}<4$
Hết
$2.A=2+2+\frac{3}{2}+\frac{4}{2^2}+...+\frac{2015}{2^2013}$
$\Rightarrow A=2A-A=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2013}}-\frac{2015}{2^{2014}}$$
Đặt:$$B=$.1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2013}}$ \Rightarrow 2.B=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2012}} \Rightarrow B=2-\frac{1}{2^{2013}}< 2$$
Suy ra: A$< 2+2-\frac{2015}{2^{2014}}< 4$ (đpcm)
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#5
Đã gửi 08-06-2014 - 11:09
Câu 4.
Cho tam giác nhọn $ABC (AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC.$ Gọi $P, Q$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $H$ đến các cạnh $AB, AC.$
1. Chứng minh rằng $BCQP$ là tứ giác nộ tiếp.
2. Hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ cắt nhau tại $M.$ Chứng minh rằng $MH^2=MB.MC.$
3. Đường thẳng $MA$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ ($K$ khác $A$). Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCQP$. Chứng minh rằng ba điểm $I, H, K$ thẳng hàng.
Phần 3 bài hình chứng minh như thế nào vậy?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silent Night: 08-06-2014 - 11:11
Bản chất con người vôn cô đơn...
#6
Đã gửi 08-06-2014 - 11:35
Câu 3.
Cho phương trình (ẩn $x$): $x^2-3(m+1)x+2m^2+5m+2=0.$ Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $|x_1 +x_2|=2|x_1 - x_2|$.
ĐK để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\Delta > 0 \Leftrightarrow 9(m+1)^{2}-4(2m^2+5m+2)> 0$
$\Leftrightarrow 9m^2+18m+9-8m^2-20m-8> 0$
$\Leftrightarrow m^2-2m+1> 0$
$\Leftrightarrow \left | m-1 \right |>0$
Áp dụng Vi_et có $x_1+x_2=3m+3$ $(1)$
$x_1x_2=2m^2+5m+2$ $(2)$
Bình phương 2 vế biểu thức $|x_1 +x_2|=2|x_1 - x_2|$ thay $(1)$ và $(2)$ vào tính $m$
- lahantaithe99 yêu thích
Bản chất con người vôn cô đơn...
#7
Đã gửi 08-06-2014 - 20:04
mấy bài khó nhất cũng xào lại từ các cuộc thi của tp trc, @@
#8
Đã gửi 09-06-2014 - 20:05
Đề chung nên ko khó lắm nhỉ.
Bản chất con người vôn cô đơn...
#9
Đã gửi 09-06-2014 - 20:23
Đề này làm full nhưng không kiểm tra bài kĩ sai béng rut gọn
- hoanganhhaha yêu thích
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
#11
Đã gửi 09-06-2014 - 21:26
cho mình hỏi câu 3 bài hình làm kiểu gì bạn
Kéo dài đường kính AD nối DH rồi bạn cm I là trung điểm DH.vậy DHI thẳng hàng rồi lại CM DHK thẳng hàng từ đó có dpcm
- pndpnd và Silent Night thích
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
#13
Đã gửi 10-06-2014 - 15:16
- moriran01101999 và pndpnd thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh