Chủ đề này có 3 trả lời

[bangbang1412]

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ không nhỏ hơn $2$ sao cho các số $A$ gồm $n-1$ chữ số $1$ và $1$ chữ số $7$ đều là số nguyên tố 

=)) Nghĩ 1,2 tiếng mới ra , cũng trâu .

[bangbang1412]

 Đây là giải của em , hơi trâu bò ai tìm cách ngắn hơn đi .

Đặt $a_{k}$ là số dạng trên sao cho số $7$ đứng ở vị trí thứ $k$ từ phải sang

Ta có nhận xét ,$a_{k+1}-a_{k} = 54.10^{k-1}$ và $a_{1} = \frac{10^{n}-10}{9}+7$

Từ đó suy ra $a_{k} = \frac{10^{n}+54.10^{k-1}-1}{9}$

Ta sẽ tìm các đưa $10^{n} + 54.10^{k-1}-1$ là một bội của $13$

Ta có $9a_{k} \equiv 10^{n} + 2.10^{k-1}-1(mod13)$

 + Nếu $n$ là bội của $3$ thì mọi số dạng đó đều là bội của 3 nên xét $n$ không là bội của $3$

+ Nếu $n=3a+2$ thì $10^{n} \equiv (-1)^{a}.100 \equiv (-1)^{a}.9(mod13)$

   Nếu $a$ chẵn ta tìm $10^{k-1}\equiv 4(mod 13)$ , dễ thấy $k=6$ thỏa mãn và $k \leq n$ , với $n \leq 5$ kiểm tra trực tiếp

   Nếu $a$ lẻ ta tìm tìm $k$ để $a_{k}$ chia hết cho $7$ , ta có $10^{n} \equiv 1000^{a} .100 \equiv (-1)^{a} . 9 \equiv 9 (mod7)$

   Ta nghĩ đến việc tìm $k$ để mà $10^{k-1}\equiv 4(mod7)$  , dễ thấy $k=5$ thỏa mãn với $n\leq 4$ kiểm tra trực tiếp.

+ Nếu $n=3a+1$ ta có $10^{n} +2.10^{k-1}-1\equiv (-1)^{a}.3+2.10^{k-1}-1(mod 7)$

   Nếu $a$ chẵn tìm $10^{k-1} \equiv -1(mod7)$ dễ thấy $k=4$ thỏa mãn với $n\leq 3$ kiểm tra trực tiếp 

   Nếu $a$ lẻ ta có $10^{n}+2.10^{k-1}-1\equiv 1000^{a}.10+2.10^{k-1}-1\equiv 3+2.10^{k-1}-1(mod13)$

Chỉ cần tìm $10^{k-1}+1\equiv 0(mod 13)$ , dễ thấy $k=4$ cũng thỏa mãn với $n\leq 3$ kiểm tra trực tiếp ..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-06-2014 - 17:47

[Juliel]

http://www.artofprob...64e2c9#p2240691

[bangbang1412]

http://www.artofprob...64e2c9#p2240691

sao giống em thế :v