Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ac$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
homeless

homeless

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3

chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ac$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi homeless: 11-06-2014 - 21:37

     CARTHAGE 

                  

 HANNIBAL

 

HAMILCAR
 
SALAMMEO
 
ROME
 
 MOLOCH
 
SCIPIO

#2
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

Ta có : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt{3\left ( a+b+c \right )}\geq 3$

$\left ( ab+bc+ac \right )\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}= 3$

$\Rightarrow$ >>.. :icon6:



#3
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Ta có : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt{3\left ( a+b+c \right )}\geq 3$

$\left ( ab+bc+ac \right )\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}= 3$

$\Rightarrow$ >>.. :icon6:

Ngược dấu rồi


Đứng dậy và bước tiếp

#4
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3

chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ac$ 

 

Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức: 

 

$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}\geq(a+b+c)^2=9$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có:

 

$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$

 

Chứng minh tương tự ta có: $b^2+2\sqrt{b}\geq3b, c^2+2\sqrt{c}\geq3c$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm.



#5
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3

chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ac$ 

làm nhầm 

lại vậy

Ta có : $\left ( a-1 \right )^{2}\left ( a-4 \right )\leq 0\Leftrightarrow a\left ( a-3 \right )^{2}\leq 4\Leftrightarrow a\left ( b+c \right )^{2}\leq 4\Leftrightarrow 3a^{2}\left ( b+c \right )^{2}\leq 4a\left ( a+b+c \right )\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+ab+ac}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}a\left ( b+c \right )\Leftrightarrow \sqrt{a}\geq \frac{ab+ac}{2}$

làm tương tự cộng vào là được


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 10-06-2014 - 21:59


#6
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

làm nhầm 

lại vậy

Ta có : $\left ( a-1 \right )^{2}\left ( a-4 \right )\leq 0\Leftrightarrow a\left ( a-3 \right )^{2}\leq 4\Leftrightarrow a\left ( b+c \right )^{2}\leq 4\Leftrightarrow 3a^{2}\left ( b+c \right )^{2}\leq 4a\left ( a+b+c \right )\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+ab+ac}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}a\left ( b+c \right )\Leftrightarrow \sqrt{a}\leq \frac{ab+ac}{2}$

làm tương tự cộng vào là được

Ơ kìa vẫn ngược dấu


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh