Mình xin tự giới thiệu về cách làm này!!
Đây là 1 cách làm còn khá mới so với các bạn về chứng minh BĐT (mình tình cờ biết được cách này qua 1 người bạn).
Mình nghĩ đây là 1 phương pháp chứng minh BĐT rất hay, dễ hiểu đối với các bạn chứng minh bất đẳng thức lần đầu tiên, nên mình xin nói tại topic này!
*CHÚ Ý:
1. Đây là 1 phương pháp chứng minh rất mới nên các thành viên làm bài nào thì phải "triệt để" bài ấy thì mới có hiệu quả.
2. Làm bài phải rõ ràng, chi tiết giúp mọi người hiểu hết được.
3. Không có chuyện phân cấp ở đây, có gì khó hay dễ mọi người hãy giúp đỡ nhau!!
4. Cách này có 1 số chỗ sẽ cho là mất tự nhiên..........nên mọi người có ý kiến gì thì đóng góp ngay!!
*PHƯƠNG PHÁP:
Mình sẽ nói ngắn gọn về phương pháp này:
Đầu tiên ta chứng minh mỗi BĐT thì đều chứng minh các BĐT tuần tự rồi mới ra được kết quả cần chứng minh!
Nhưng ở đây, mình xin nói cách khác:
Chúng ta sẽ đi tìm 1 biểu thức $A$ thỏa mãn: $VT-A\geq 0$
(đương nhiên việc tìm ra biểu thức $A$ không phải chuyện đơn giản và hợp tự nhiên nên mình cần thảo luận ở phần này). Sau đó ta chứng minh $A\geq VP$ kiểu dễ tương tự với AM-GM,mấy BĐT cơ bản là ra (nói chung là dễ)
*BÀI TOÁN:
+ Bây giờ mình sẽ chứng minh thử 1 bài cho các bạn hình dung ra:
B1:
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=3$
CMR: $\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}\geq \frac{3}{2}$
BL:
Đương nhiên bài này chứng minh bình thường nhưng sẽ khá là khó và phức tạp:
Ở đây mình xin làm như sau:
Ta thấy dấu $"="$ của BĐT xảy ra khi $x=y=z=1$
Thay số vào: $\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}= \frac{1}{2}$ (đương nhiên đây chỉ là làm mò ra dấu $"="$ ở đây thôi)
Ta phải chọn biểu thức $A$ có giá trị khi thay $x=y=z=1$ cũng phải bằng $\frac{1}{2}$. Chọn $A=\frac{2x-y}{2}$ (đây là chỗ cần suy nghĩ)
Ta xét: $\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2x-y}{2}= \frac{2x^{3}-2x^{3}-2xy^{2}+x^{2}y+y^{3}}{2(x^{2}+y^{2})}= \frac{y(x-y)^{2}}{2(x^{2}+y^{2})}\geq 0$
$\Rightarrow \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{2x-y}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \sum \frac{2x-y}{2}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu =": $x=y=z=1$
Như các bạn đã thấy được công dụng của phương pháp này.......nó làm đơn giản đi sự phức tạp của BĐT rất nhiều........đây là 1 lợi thế của những ai hiểu và thông thạo cách làm này.
Riêng mình, mình thấy phương pháp này khá hay nhưng quy mô mà nó bao phủ thì khá hẹp, thường thì nó chỉ áp dụng được cho BĐT có lũy thừa thấp hoặc các biến đơn giản là 3,4 biến thôi.
Vì vậy cách chứng minh này thường không được biết nhiều lắm!
*BÀI TẬP:
Xin mời các bạn làm thử các bài dưới đây!
1.
Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn: $xyz=1$
CMR: $\sum \frac{x^{4}-x}{x^{2}+y+z}\geq 0$
2,
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãm: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x+y+z$
CMR: $\sum \frac{x^{3}-x^{2}}{x^{3}+y^{2}+z^{2}}\geq 0$
3.
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:$abc=1$
CMR: $\sum \frac{a}{2b+1}\geq 1$
4.
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR: $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
5.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương.
CMR: $\sum \frac{a^{2}b(b-c)}{a+b}\geq 0$
6.
Cho $a,b,c$ là các số dương
CMR: $\sum \frac{b^{3}-a^{3}}{a^{2}(a^{3}+2b^{3})}\geq 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 10-06-2014 - 21:59
