Chủ đề này có 3 trả lời

[xCaroZ]

$1):$Cho $x,y,z$ là các số thực tuỳ ý thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

             $A=(xy+yz+2zx)^2-\frac{8}{xy+yz+2zx-1}$
$2):$Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$B=\frac{bc}{a(b+2c)}+2[\frac{ac}{b(a+c)}+\frac{ab}{c(2a+b)}]$

[NDP]

$1):$Cho $x,y,z$ là các số thực tuỳ ý thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

             $A=(xy+yz+2zx)^2-\frac{8}{xy+yz+2zx-1}$
$2):$Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$B=\frac{bc}{a(b+2c)}+2[\frac{ac}{b(a+c)}+\frac{ab}{c(2a+b)}]$

Bài 1

 Lời giải từ giả thiết ta có

Vì 0$\leq (a+b+c)^{2}=1+2(xy+yz+zx)$ nên xy+yz+2zx$\geq -\frac{1}{2}+xz\geq \frac{-1}{2}-\frac{x^{2}+z^{2}}{2}=-1+\frac{y^{2}}{2}\geq -1$

Đẳng thức này xẩy ra khi y=0 và x=-z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xét f(t)=$t^{2}-\frac{8}{t-1}$ với t=xy+yz+2zx$\geq -1$ ta có $f^{'}(t)=\frac{8+2t^{3}-4t^{2}+2t}{(t-1)^{2}}\geq 0$ (với t$\geq -1$)

Vậy f(t)$\geq f(-1)=5$

Vậy Pmin=5 khi y=0 và x=-z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 2 Làm da rồi . Tối mình post . Bây h đi đá bóng

[xCaroZ]

Bài 1

 Lời giải từ giả thiết ta có

Vì 0$\leq (a+b+c)^{2}=1+2(xy+yz+zx)$ nên xy+yz+2zx$\geq -\frac{1}{2}+xz\geq \frac{-1}{2}-\frac{x^{2}+z^{2}}{2}=-1+\frac{y^{2}}{2}\geq -1$

Đẳng thức này xẩy ra khi y=0 và x=-z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xét f(t)=$t^{2}-\frac{8}{t-1}$ với t=xy+yz+2zx$\geq -1$ ta có $f^{'}(t)=\frac{8+2t^{3}-4t^{2}+2t}{(t-1)^{2}}\geq 0$ (với t$\geq -1$)

Vậy f(t)$\geq f(-1)=5$

Vậy Pmin=5 khi y=0 và x=-z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 2 Làm da rồi . Tối mình post . Bây h đi đá bóng

Bài 1 bạn là đúng rồi,nếu bài toán yêu cầu thêm là tìm $MaxA$ bạn có làm được không

[NDP]

Bài 1 bạn là đúng rồi,nếu bài toán yêu cầu thêm là tìm $MaxA$ bạn có làm được không

Bạn post tìm max đi

Bài 2

Viết lại giả thiết như sau $2\frac{2a}{b}+\frac{2a.4c}{b^{2}}+2\frac{b}{2a}+\frac{b.4c}{(2a)^{2}}=6$

Đặt x=b,y=2a,z=c thì giả thiết $2\frac{y}{x}+2\frac{x}{y}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}=6$

Lúc đó P=$\frac{xz}{y(2x+z)}+\frac{yz}{x(2y+z)}+\frac{4xy}{z(x+y)}$

       $\geq \frac{(xz+zy)^{2}}{2xyz(x+y+z)}+\frac{4xy}{z(x+y)}\geq \frac{3(xz+yz)^{2}}{2(xy+yz+zx)^{2}}+\frac{4xy}{z(x+y)}$

           $=\frac{3}{2(\frac{xy}{zx+zy}+1)^{2}}+\frac{4xy}{z(x+y)}$

      Đặt t=$\frac{xy}{xz+zy}\Rightarrow P\geq \frac{3}{2(t+1)^{2}}+4t$

Từ giả thiết ta có 6$\geq 4+\frac{z(x+y)}{xy}\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$

Vậy P$\geq \frac{3}{2(t+1)^{2}}+4t=\frac{3}{2(t+1)^{2}}+\frac{4}{9}(t+1)+\frac{4}{9}(t+1)+\frac{28}{9}t-\frac{8}{3}$

      $\geq 3\sqrt[3]{\frac{4^{2}}{9^{2}}.\frac{3}{2}}+\frac{14}{9}-\frac{8}{9}=\frac{8}{3}$

       Dấu ;=; xẩy ra khi b=2a=4c