Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$u^2+v^2=1$

lượng giác cơ bản sgk

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 11-06-2014 - 19:31

Đang viết mấy thứ liên thiên về lượng giác lại thấy trong SGK có một câu thế này:

Vì $$ \left( \frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left( \frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1, $$

nên có một góc $\alpha$ sao cho $ \frac a{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \alpha $ và $\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \alpha$.

 

Ơ, họ nói cứ như thể nó hiển nhiên lắm thì phải! :angry:  Có bạn nào giải thích giúp mình không?  :icon6:

 

P/s 1: Có thể viết lại bài toán như sau: Cho $u,v$ là hai số thực thỏa mãn $u^2+v^2=1$. CMR có một góc $\alpha$ sao cho $u=\sin \alpha$ và $v=\cos \alpha$?  :wub: 

 

P/s 2: Có thể giúp mình nhiều hơn một cách giải thích không?  >:) 


Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#2 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 11-06-2014 - 20:00

Đang viết mấy thứ liên thiên về lượng giác lại thấy trong SGK có một câu thế này:

Vì $$ \left( \frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left( \frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1, $$

nên có một góc $\alpha$ sao cho $ \frac a{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \alpha $ và $\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \alpha$.

 

Ơ, họ nói cứ như thể nó hiển nhiên lắm thì phải! :angry:  Có bạn nào giải thích giúp mình không?  :icon6:

 

P/s 1: Có thể viết lại bài toán như sau: Cho $u,v$ là hai số thực thỏa mãn $u^2+v^2=1$. CMR có một góc $\alpha$ sao cho $u=\sin \alpha$ và $v=\cos \alpha$?  :wub: 

 

P/s 2: Có thể giúp mình nhiều hơn một cách giải thích không?  >:) 

Thế này không biết có đúng không

Do $u^{2}+v^{2}=1\rightarrow -1\leqslant u,v\leqslant 1$

Vì $sin\alpha \in \left [ -1;1 \right ]$;$cos\alpha \in \left [ -1;1 \right ]$

Vậy luôn tồn tại góc $\alpha$ sao cho $sin\alpha =u$; $cos\alpha =v$


Đứng dậy và bước tiếp

#3 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 11-06-2014 - 20:20

Thế này không biết có đúng không

Do $u^{2}+v^{2}=1\rightarrow -1\leqslant u,v\leqslant 1$

Vì $sin\alpha \in \left [ -1;1 \right ]$;$cos\alpha \in \left [ -1;1 \right ]$

 

Chỗ này đúng! Nhưng như thế chỉ mới nói được rằng từng "thằng" trong $\sin \alpha, \cos \alpha, u, v$ đều có thể chạy loăng quăng bất cứ chỗ nào trong $[-1;1]$ Chứ chưa giải thích được tại sao có một góc $\alpha$ để $\sin \alpha$ có thể gặp $u$ và do đó $\cos \alpha$ sẽ gặp $v$.

 

P/s: Bạn đang làm yếu giả thiết $u^2+v^2=1$ đi đấy, chắc chắn phải tận dụng hết nó chứ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 11-06-2014 - 20:25
Chỉnh câu chữ

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#4 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 11-06-2014 - 20:37

Chỗ này đúng! Nhưng như thế chỉ mới nói được rằng từng "thằng" trong $\sin \alpha, \cos \alpha, u, v$ đều có thể chạy loăng quăng bất cứ chỗ nào trong $[-1;1]$ Chứ chưa giải thích được tại sao có một góc $\alpha$ để $\sin \alpha$ có thể gặp $u$ và do đó $\cos \alpha$ sẽ gặp $v$.

 

P/s: Bạn đang làm yếu giả thiết $u^2+v^2=1$ đi đấy, chắc chắn phải tận dụng hết nó chứ!

Mới L10 (Chắc là anh), ý em à thế này: 

$sin\alpha ;cos\alpha ;u;v$ có thể nhận mọi giá trị trong khoảng từ $\left [ -1;1 \right ]$ mà ta có thể chọn $\alpha$ tùy ý nên mới có KL như vậy, còn giả thiết đương  nhiên là cần dùng, ta chỉ có 1 khẳng định giả sử là $sin\alpha =u$ từ đó mới có $cos\alpha =v$ 


Đứng dậy và bước tiếp

#5 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 11-06-2014 - 20:45

Mới L10 (Chắc là anh), ý em à thế này: 

$sin\alpha ;cos\alpha ;u;v$ có thể nhận mọi giá trị trong khoảng từ $\left [ -1;1 \right ]$ mà ta có thể chọn $\alpha$ tùy ý nên mới có KL như vậy, còn giả thiết đương  nhiên là cần dùng, ta chỉ có 1 khẳng định giả sử là $sin\alpha =u$ từ đó mới có $cos\alpha =v$ 

 

Mình vẫn chưa hiểu! Đồng ý là có $\sin \alpha=u$ thế nhỡ $\cos \alpha$ bằng một giá trị khác $v$ thì sao? 

Tại sao hễ $\sin \alpha=u$ lại suy ra được $\cos \alpha$ phải là $v$? Và bạn dùng $u^2+v^2=1$ ở chỗ nào?

Ý mình là cần có một giải thích rõ ràng và trọn vẹn! Chẳng hạn đây là bài kiểm tra đi, bạn sẽ trình bày như nào để có điểm $10$:lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 11-06-2014 - 20:48

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#6 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 11-06-2014 - 21:02

Mình vẫn chưa hiểu! Đồng ý là có $\sin \alpha=u$ thế nhỡ $\cos \alpha$ bằng một giá trị khác $v$ thì sao? 

Tại sao hễ $\sin \alpha=u$ lại suy ra được $\cos \alpha$ phải là $v$? Và bạn dùng $u^2+v^2=1$ ở chỗ nào?

Ý mình là cần có một giải thích rõ ràng! Chẳng hạn đây là bài kiểm tra đi, bạn sẽ trình bày như nào để có điểm $10$:lol:

Em sẽ trình bày thế này: 

 

Từ giả thiết $u^{2}+v^{2}=1$ ta có ngay $u,v\in \left [ -1;1 \right ]$

 

Nhận xét: Với một góc $\alpha$ bất kì thì $sin\alpha ;cos\alpha$ luôn nằm trong đoạn $\left [ -1;1 \right ]$

 

Vì $\alpha$ không cố định nên ta chọn $\alpha$ sao cho $sin\alpha =u$ và hiển nhiên có vô số góc $\alpha$ như thế (cách nhau $k2\pi$) , chọn các

 

góc $\alpha$ sao cho $cos\alpha$ cùng dấu với $v$

 

Mà $u^{2}+v^{2}=1\Leftrightarrow sin^{2}\alpha +v^{2}=1\Leftrightarrow v^{2}=1-sin^{2}\alpha =cos^{2}\alpha$ suy ra $cos\alpha =v$

 

Vậy ta có $DPCM$.


Đứng dậy và bước tiếp

#7 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 11-06-2014 - 21:12

Vì $\alpha$ không cố định nên ta chọn $\alpha$ sao cho $sin\alpha =u$ và hiển nhiên có vô số góc $\alpha$ như thế (cách nhau $k2\pi$) , chọn các

 

góc $\alpha$ sao cho $cos\alpha$ cùng dấu với $v$

 

Đồng ý là có vô số góc $\alpha$ như bạn nói, nhưng nếu chỉ là các góc cách nhau $k2\pi$ thì $\cos$ của chúng sẽ giống nhau hết chứ! Tại sao bạn lại chọn được một góc $\alpha$ (thỏa mãn $\sin \alpha=u$) để $\cos \alpha$ cùng dấu với $v$? Nhỡ không chọn được thì sao?

 

Mặc dù là có vô số góc $\alpha$ nhưng chúng ràng buộc với nhau bởi $k2\pi$ thì không có ý nghĩa gì cả, nếu chỉ xét $\cos$ của chúng!

 

Liệu bài này có được $10$ được không?  


Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#8 tp2511

tp2511

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 11-06-2014 - 21:52

Vì $u^2+v^2=1$ nên điểm M(u;v) nằm trên đường tròn đơn vị; Chọn $\alpha$ bằng số đo của một trong các góc lượng giác (OM,Ox). Khi đó, theo định nghĩa về giá trị lượng giác của một cung (một góc), ta có $sin\alpha =v; cos\alpha =u$. 



#9 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 11-06-2014 - 22:40

Cách của tp2511 có lẽ là ngắn và dễ hiểu nhất rồi!  :namtay

Bạn buitudong1998 tiếp tục hoàn thiện bài giải của bạn giúp mình nhé! Mình nghĩ chỉ cần chặt chẽ hơn một chút nữa là được rồi!  :namtay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 11-06-2014 - 22:43
Bổ sung thêm nội dung

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#10 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 13-06-2014 - 13:12

Xét theo một cách nào đó thì những vấn đề như này cũng khá thú vị đấy chứ, thực tế có nhiều bạn học sinh (thậm chí là thầy cô giáo, nhất là người trẻ như mình) cũng còn chưa hiểu thật cặn kẽ những điều tưởng chừng như rất dễ kiểu thế này!

Bây giờ mình sẽ bổ sung thêm để lời giải của bạn buitudong1998 trọn vẹn hơn nhé!

 

Ta có $u^2+v^2=1$ nên $u\in[-1;1]$, do đó ta chọn được góc $\alpha$ để $u=\sin \alpha$.

Mà $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ nên $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-u^2=v^2\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha=v\\ \cos \alpha=-v\end{array}\right.$

Bây giờ ta sẽ xét hai trường hợp:

 

TH1: $v>0$.

Ta chọn góc $\alpha$ để $\sin \alpha=u$ nhưng $\alpha\in \left[ -\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right]$.

Luôn chọn được góc như thế (Xem hình vẽ)

Tuong ung sin-(-11).png

Với góc $\alpha$ như này ta sẽ có $\cos \alpha>0$. Và do đó $\cos \alpha=v$

Như vậy ta đã chọn được góc $\alpha$ để $u=\sin \alpha$ và $v=\cos \alpha$.

 

TH2: $v<0$.

Ta chọn góc $\alpha$ để $\sin \alpha=u$ nhưng $\alpha\in \left[ \dfrac{\pi}2;\dfrac{3\pi}2\right]$.

Cũng luôn chọn được góc như thế (Xem hình vẽ)

Tuong ung sin-(-11) (2).png

Với góc $\alpha$ như này ta sẽ có $\cos \alpha<0$. Và do đó $\cos \alpha=v$ (chú ý $v<0$ nhé.)

Như vậy ta cũng chọn được góc $\alpha$ để $u=\sin \alpha$ và $v=\cos \alpha$.

 

Nhận xét: Việc hiểu được cách ràng buộc điều kiện của góc $\alpha$ khi đặt $u=\sin \alpha$ mang rất nhiều ý nghĩa trong việc ứng dụng lượng giác vào các bài toán khác như giải phương trình chứa căn hoặc tính tích phân chẳng hạn.


Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh