Chứng minh $\sum \frac{a^2}{a+b}+\frac{1}{2}(\sum \sqrt{ab})\geq \sum a$ với mọi số thực dương a,b,c.
Chứng minh $\sum \frac{a^2}{a+b}+\frac{1}{2}(\sum \sqrt{ab})\geq \sum a$
Bắt đầu bởi RoyalMadrid, 12-06-2014 - 17:05
#2
Đã gửi 12-06-2014 - 17:12
megamewtwo
-
- Thành viên
-
- 322 Bài viết
Sĩ quan
Ta có ; $\sum \frac{a^{2}}{a+b}-\sum \frac{b^{2}}{a+b}=\sum\left ( a-b \right )= 0$
ĐPCM $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\sqrt{ab}-a-b \right )= \sum \frac{a^{2}+b^{2}+\left ( a+b \right )\sqrt{ab}-a^{2}-b^{2}-2ab}{a+b}= \sum \frac{\left ( a+b \right )\sqrt{ab}-2ab}{a+b}\geq \sum \frac{2ab-2ab}{a+b}= 0$ 
- RoyalMadrid, lahantaithe99 và huythcsminhtan thích
#3
Đã gửi 03-04-2021 - 13:28
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geqslant \sum_{cyc}(a-\frac{a^2}{a+b})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geqslant \sum_{cyc}\frac{ab}{a+b}$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do: $\sum_{cyc}\frac{ab}{a+b}\leqslant \sum_{cyc}\frac{ab}{2\sqrt{ab}} = \frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
