cho a,b,c là các số thực
chứng minh rằng $a(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)+b(c+b)(b^2+c^2)(c^4+b^4)+c(a+c)(a^2+c^2)(a^4+c^4) \geq 0$
chứng minh rằng $a(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)+b(c+b)(b^2+c^2)(c^4+b^4)+c(a+c)(a^2+c^2)(a^4+c^4) \geq 0$
Bắt đầu bởi homeless, 12-06-2014 - 20:33
#1
Đã gửi 12-06-2014 - 20:33
homeless
-
- Thành viên
-
- 55 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 17-04-2021 - 09:26
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta có: $a(a+b)=a^2+ab=(\frac{a^2}{2}+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{2})+(\frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{2})=\frac{(a+b)^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\geqslant \frac{a^2-b^2}{2}$
$\Rightarrow a(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\geqslant \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)}{2}=\frac{a^8-b^8}{2}$
Tương tự: $b(b+c)(b^2+c^2)(b^4+c^4)\geqslant \frac{b^8-c^8}{2}$; $c(c+a)(c^2+a^2)(c^4+a^4)\geqslant \frac{c^8-a^8}{2}$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $a(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)+b(b+c)(b^2+c^2)(b^4+c^4)+c(c+a)(c^2+a^2)(c^4+a^4)\geqslant \frac{a^8-b^8+b^8-c^8+c^8-a^8}{2}=0(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
