Cho x,y,z dương thoả xyz=1. Cm $\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$
Edited by skyfallblack2, 13-06-2014 - 11:16.
Cm $\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}\geq \frac{3}{4}$
Started By skyfallblack2, 13-06-2014 - 11:15
#2
Posted 13-06-2014 - 11:23
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 posts
Thượng úy
Cho x,y,z dương thoả xyz=1. Cm $P= \frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$
Giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số:
$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\geq \frac{3x}{4}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại
$\Rightarrow P\geq \frac{2(x+y+z)-3}{4}\geq \frac{2.3-3}{4}=\frac{3}{4}$
Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$
- bestmather, mnguyen99, lahantaithe99 and 1 other like this
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Posted 13-06-2014 - 11:24
VuDucTung
-
- Thành viên
-
- 22 posts
Binh nhất
Áp dụng BĐT cô si 3 số có
$\frac{x^3}{(y+1)(z+1)}+\frac{y+1}{8}+\frac{z+1}{8}\geq \frac{3}{4}$
Tương tự có
$\sum \frac{x^3}{(y+1)(z+1)}\geq \frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}$
Mà $x+y+z \geq \sqrt[3]{xyz}$=3 nên
$\sum \frac{x^3}{(z+1)(y+1)}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$ $=>$đpcm
Dấu bằng xảy ra $x=y=z=1$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
