Chủ đề này có 4 trả lời

[skyfallblack2]

Cho x,y,z dương thoả xyz=1. Cm $\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skyfallblack2: 13-06-2014 - 11:16

[nguyenhongsonk612]

Cho x,y,z dương thoả xyz=1. Cm $P= \frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$

Giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số:

$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\geq \frac{3x}{4}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại

$\Rightarrow P\geq \frac{2(x+y+z)-3}{4}\geq \frac{2.3-3}{4}=\frac{3}{4}$

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$

[VuDucTung]

Áp dụng BĐT cô si 3 số có 

$\frac{x^3}{(y+1)(z+1)}+\frac{y+1}{8}+\frac{z+1}{8}\geq \frac{3}{4}$

Tương tự có 

$\sum \frac{x^3}{(y+1)(z+1)}\geq \frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}$

Mà $x+y+z \geq \sqrt[3]{xyz}$=3 nên 

$\sum \frac{x^3}{(z+1)(y+1)}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$ $=>$đpcm

Dấu bằng xảy ra $x=y=z=1$ 

[Ngoc Hung]

Cho x,y,z dương thoả xyz=1. Cm $\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$

Bài này là đề "Chuyên Ninh Bình"

Đã giải ở đây rồi các bạn ơi

[buitudong1998]

Cho x,y,z dương thoả xyz=1. Cm $\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$

Tham khảo thêm tại đây