Đến nội dung

Hình ảnh

$2^n+3^n+6^n-1\vdots p$

sh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số  nguyên tố $p$ thì luôn tồn tại số nguyên $n$ sao cho $2^n+3^n+6^n-1\vdots p$



#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số  nguyên tố $p$ thì luôn tồn tại số nguyên $n$ sao cho $2^n+3^n+6^n-1\vdots p$

 

Đặt $a_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}-1$

 

Xét các trường hợp

 

Trường hợp 1: $p=2$

Chọn $n\geq 1$ ta được $2=p\mid a^{n}$

 

Trường hợp 2: $p=3$

Chọn $n\geq 2$, $n$ chẵn ta được $3=p\mid a^{n}$

 

Trường hợp 3: $p>3$

Chọn $n=p-2$ ta được

$6a_{p-2}=3.2^{p-1}+2.3^{p-1}+6^{p-1}-6\equiv 3+2+1-6\equiv (\mod p)$

 

Do $p>3\Rightarrow (p,6)=1\Rightarrow p\mid a_{p-2}$

 

Vậy với mỗi số nguyên tố $p$ ta luôn tìm được số nguyên dương $n$ sao cho $a_{n}$ chia hết cho $p$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: sh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh