Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì luôn tồn tại số nguyên $n$ sao cho $2^n+3^n+6^n-1\vdots p$
#1
Đã gửi 13-06-2014 - 11:51
#2
Đã gửi 13-06-2014 - 20:32
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì luôn tồn tại số nguyên $n$ sao cho $2^n+3^n+6^n-1\vdots p$
Đặt $a_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}-1$
Xét các trường hợp
Trường hợp 1: $p=2$
Chọn $n\geq 1$ ta được $2=p\mid a^{n}$
Trường hợp 2: $p=3$
Chọn $n\geq 2$, $n$ chẵn ta được $3=p\mid a^{n}$
Trường hợp 3: $p>3$
Chọn $n=p-2$ ta được
$6a_{p-2}=3.2^{p-1}+2.3^{p-1}+6^{p-1}-6\equiv 3+2+1-6\equiv (\mod p)$
Do $p>3\Rightarrow (p,6)=1\Rightarrow p\mid a_{p-2}$
Vậy với mỗi số nguyên tố $p$ ta luôn tìm được số nguyên dương $n$ sao cho $a_{n}$ chia hết cho $p$
- 19kvh97 và Trang Luong thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: sh
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
\[2^{\left ( 3^{n} \right )}+ 1\equiv 0 \mod 3^{n}\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 11-02-2018 sh |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
\[a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{4} \notin Q\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 09-02-2018 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$a^n-1$ không chia hết cho $n$Bắt đầu bởi 19kvh97, 25-10-2014 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$ a_{n+1}=a_n+[\sqrt{a_n}] $Bắt đầu bởi 19kvh97, 14-10-2014 ds, sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$19^{n}-97\vdots 2^{t}$Bắt đầu bởi Dung Du Duong, 14-09-2014 sh |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh