Chủ đề này có 1 trả lời

[nx0909]

Với $x,y,z>0$ và $x+y+z=3/2$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{3}y^{3}z^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nx0909: 13-06-2014 - 19:07

[lahantaithe99]

Với $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{3}y^{3}z^{3}$

 

Ta có $x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}\geqslant \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$

 

và $x^3y^3z^3+\frac{1}{3^9}+\frac{1}{3^9}\geqslant \frac{xyz}{3^5}$ (áp dụng $AM-GM$)

 

Do đó mà $VT\geqslant \frac{x^2+y^2+z^2}{3}+\frac{xyz}{3^5}-\frac{2}{3^9}$ $(1)$

 

Theo BĐT Schur

 

$xyz\geqslant \prod (x+y-z)=\prod (1-2x)$

 

Khai triển ra thu được $xyz\geqslant \frac{4(xy+yz+xz)-1}{9}$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ suy ra $VT\geqslant \frac{3^6(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)-1}{3^7}-\frac{2}{3^9}$

 

$=\frac{(3^6-2)(x^2+y^2+z^2)+2(x+y+z)^2-1}{3^7}-\frac{2}{3^9}$

 

$\geqslant \frac{\frac{3^6-2}{3}+2-1}{3^7}-\frac{2}{3^9}=\frac{2188}{19683}$

 

 (do $x^2+y^2+z^2\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$)

 

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

 

-------------------

Không biết mình làm có đúng không nhưng số má ra ghê quá 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 13-06-2014 - 19:14