Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 nx0909

nx0909

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 13-06-2014 - 19:22

Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nx0909: 13-06-2014 - 19:29


#2 yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi tp Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán , Lý thích xem doraemon và conan

Đã gửi 13-06-2014 - 19:33

Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^{2}}\geq \sum \frac{1}{1+xy}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{27}{10}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#3 nx0909

nx0909

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 13-06-2014 - 19:42

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^{2}}\geq \sum \frac{1}{1+xy}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{27}{10}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ chỉ đúng với $x,y\geq 1$ thôi mà



#4 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 13-06-2014 - 19:51

Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$

Bài này đối xứng nên dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Khi đó $min(VT)=2,7$

Nhưng thử với $x=0,25;y=0,25;z=0,5$ thì lại ra 1 giá trị nhỏ hơn nên theo mình bài này không có min



#5 megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-06-2014 - 20:55

Bài này đối xứng nên dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Khi đó $min(VT)=2,7$

Nhưng thử với $x=0,25;y=0,25;z=0,5$ thì lại ra 1 giá trị nhỏ hơn nên theo mình bài này không có min

??? Ta có: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}= 3-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{y^{2}}{y^{2}+1}-\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\geq 3-\frac{x+y+z}{2}=2,5$

dấu = xảy ra khi $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,1 \right )$

Để ý dấu = 1 chút được :icon6:  :icon6:  :icon6:



#6 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 13-06-2014 - 21:05

??? Ta có: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}= 3-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{y^{2}}{y^{2}+1}-\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\geq 3-\frac{x+y+z}{2}=2,5$

dấu = xảy ra khi $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,1 \right )$

Để ý dấu = 1 chút được :icon6:  :icon6:  :icon6:

What????

$x,y,z>0$ mờ cậu



#7 megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-06-2014 - 21:06

What????

$x,y,z>0$ mờ cậu

ừm nhỉ thế thì "bó cánh" rồi :(



#8 Takamina Minami

Takamina Minami

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Secret
  • Sở thích:Nghe nhạc

Đã gửi 13-06-2014 - 21:08

bài này chắc ko có min giải mãi ko ra


tumblr_mvk1jxSuSL1r3ifxzo1_250.gif


#9 hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội-Amsterdam
  • Sở thích:máy bay máy bò

Đã gửi 15-06-2014 - 11:19

UCT cũng bó tay @@



#10 nx0909

nx0909

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 15-06-2014 - 21:14

UCT:

$ \frac{2-x}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}\le\frac{27(2-x)}{50} $

thế nên $ \frac{5}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\le\frac{27}{10} $

xin lỗi mình nhầm, điều kiện đáng nhẽ ra phải là x,y,z không âm



#11 hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội-Amsterdam
  • Sở thích:máy bay máy bò

Đã gửi 15-06-2014 - 21:34

đến đây chuẩn rồi bạn ạ :) UCT mình mãi k ra






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh