Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
nx0909

nx0909

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nx0909: 13-06-2014 - 19:29


#2
yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^{2}}\geq \sum \frac{1}{1+xy}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{27}{10}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#3
nx0909

nx0909

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^{2}}\geq \sum \frac{1}{1+xy}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{27}{10}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ chỉ đúng với $x,y\geq 1$ thôi mà



#4
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$

Bài này đối xứng nên dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Khi đó $min(VT)=2,7$

Nhưng thử với $x=0,25;y=0,25;z=0,5$ thì lại ra 1 giá trị nhỏ hơn nên theo mình bài này không có min



#5
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

Bài này đối xứng nên dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Khi đó $min(VT)=2,7$

Nhưng thử với $x=0,25;y=0,25;z=0,5$ thì lại ra 1 giá trị nhỏ hơn nên theo mình bài này không có min

??? Ta có: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}= 3-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{y^{2}}{y^{2}+1}-\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\geq 3-\frac{x+y+z}{2}=2,5$

dấu = xảy ra khi $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,1 \right )$

Để ý dấu = 1 chút được :icon6:  :icon6:  :icon6:



#6
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

??? Ta có: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}= 3-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{y^{2}}{y^{2}+1}-\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\geq 3-\frac{x+y+z}{2}=2,5$

dấu = xảy ra khi $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,1 \right )$

Để ý dấu = 1 chút được :icon6:  :icon6:  :icon6:

What????

$x,y,z>0$ mờ cậu



#7
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

What????

$x,y,z>0$ mờ cậu

ừm nhỉ thế thì "bó cánh" rồi :(



#8
Takamina Minami

Takamina Minami

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết

bài này chắc ko có min giải mãi ko ra


tumblr_mvk1jxSuSL1r3ifxzo1_250.gif


#9
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

UCT cũng bó tay @@



#10
nx0909

nx0909

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

UCT:

$ \frac{2-x}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}\le\frac{27(2-x)}{50} $

thế nên $ \frac{5}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\le\frac{27}{10} $

xin lỗi mình nhầm, điều kiện đáng nhẽ ra phải là x,y,z không âm



#11
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

đến đây chuẩn rồi bạn ạ :) UCT mình mãi k ra






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh