Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nx0909: 13-06-2014 - 19:29
Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nx0909: 13-06-2014 - 19:29
Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^{2}}\geq \sum \frac{1}{1+xy}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{27}{10}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^{2}}\geq \sum \frac{1}{1+xy}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{27}{10}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ chỉ đúng với $x,y\geq 1$ thôi mà
Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$
Bài này đối xứng nên dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Khi đó $min(VT)=2,7$
Nhưng thử với $x=0,25;y=0,25;z=0,5$ thì lại ra 1 giá trị nhỏ hơn nên theo mình bài này không có min
Bài này đối xứng nên dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Khi đó $min(VT)=2,7$
Nhưng thử với $x=0,25;y=0,25;z=0,5$ thì lại ra 1 giá trị nhỏ hơn nên theo mình bài này không có min
??? Ta có: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}= 3-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{y^{2}}{y^{2}+1}-\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\geq 3-\frac{x+y+z}{2}=2,5$
dấu = xảy ra khi $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,1 \right )$
Để ý dấu = 1 chút được
??? Ta có: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}= 3-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{y^{2}}{y^{2}+1}-\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\geq 3-\frac{x+y+z}{2}=2,5$
dấu = xảy ra khi $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,1 \right )$
Để ý dấu = 1 chút được
What????
$x,y,z>0$ mờ cậu
UCT:
$ \frac{2-x}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}\le\frac{27(2-x)}{50} $
thế nên $ \frac{5}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\le\frac{27}{10} $
xin lỗi mình nhầm, điều kiện đáng nhẽ ra phải là x,y,z không âm
đến đây chuẩn rồi bạn ạ UCT mình mãi k ra
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh