Cho $a, b, c\ge 0$. Chứng minh rằng $\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \ge 1$
$\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \ge 1$
#1
Đã gửi 13-06-2014 - 20:02
#2
Đã gửi 13-06-2014 - 20:22
Cho $a, b, c\ge 0$. Chứng minh rằng $\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \ge 1$
Đề bài hình như không ổn
$a,b,c>0$ chứ nhỉ?
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
#3
Đã gửi 13-06-2014 - 21:54
Cho $a, b, c\ge 0$. Chứng minh rằng $\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \ge 1$
$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}\geq 1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Có thể tiến chậm, nhưng đừng bao giờ bước lùi – Abraham Lincoln
PVTT
#4
Đã gửi 13-06-2014 - 22:01
$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}\geq 1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
nhầm dấu à bạn
bài này chắc phải chia làm 2Th
TH1 : có 1 số =0$\Rightarrow$ BDT luôn đung
TH2 : 3 số $a;b;c\neq 0\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}= \sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$
Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z\Rightarrow xyz=1$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}\geq 1$
cái này đúng với xyz=1
- DarkBlood, leduylinh1998, PolarBear154 và 2 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 13-06-2014 - 22:30
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}\geq 1$
cái này đúng với xyz=1
Cm cái này ra sao?
Có thể tiến chậm, nhưng đừng bao giờ bước lùi – Abraham Lincoln
PVTT
#6
Đã gửi 13-06-2014 - 22:40
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}\geq 1$
cái này đúng với xyz=1
Cm cái này ra sao?
??
Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$
- DarkBlood, PolarBear154, chardhdmovies và 1 người khác yêu thích
#7
Đã gửi 14-06-2014 - 07:43
??
Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$
Thiếu cái bình phương ^^
- megamewtwo yêu thích
Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc...
#8
Đã gửi 14-06-2014 - 08:26
??
Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$
Mấy sếp cho em hỏi với , nếu c/m đc cái này thì chỉ suy ra đc $\frac{1}{x+x^{2}+1}\geq 1$ chứ đâu có suy ra đc c/m ở đề đâu (do đặt khác mà )
Live more - Be more
#9
Đã gửi 14-06-2014 - 09:07
Mấy sếp cho em hỏi với , nếu c/m đc cái này thì chỉ suy ra đc $\frac{1}{x+x^{2}+1}\geq 1$ chứ đâu có suy ra đc c/m ở đề đâu (do đặt khác mà )
Cái phần này
??
Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$
chỉ là bạn ấy làm bài toán phụ cmr khi có xyz=1 thì có
$\sum \frac{1}{1+x+x^2}\geq 1$ thôi, không ảnh hưởng gì đến bài toán bạn nhé
megamewtwo
Nên đặt x=$\frac{mn}{p^{2}}$,... để tránh các bạn bị nhầm với biến a, b, c đã cho bạn nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 14-06-2014 - 09:09
- megamewtwo và tuananh2000 thích
Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh