Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \ge 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Cho $a, b, c\ge 0$. Chứng minh rằng $\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}}  \ge 1$



#2
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

Cho $a, b, c\ge 0$. Chứng minh rằng $\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}}  \ge 1$

Đề bài hình như không ổn

$a,b,c>0$ chứ nhỉ?


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#3
skyfallblack2

skyfallblack2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Cho $a, b, c\ge 0$. Chứng minh rằng $\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}}  \ge 1$

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}\geq 1$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c


                          Có thể tiến chậm, nhưng đừng bao giờ bước lùi – Abraham Lincoln

 

 

                                         

 

 

 

                     :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: PVTT :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 


#4
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}\geq 1$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

nhầm dấu à bạn 

bài này chắc phải chia làm 2Th

TH1 : có 1 số =0$\Rightarrow$ BDT luôn đung

TH2 : 3 số $a;b;c\neq 0\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}= \sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$

Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z\Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}\geq 1$ 

cái này đúng với xyz=1 :icon6:



#5
skyfallblack2

skyfallblack2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}\geq 1$ 

 

cái này đúng với xyz=1 :icon6:

Cm cái này ra sao?


                          Có thể tiến chậm, nhưng đừng bao giờ bước lùi – Abraham Lincoln

 

 

                                         

 

 

 

                     :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: PVTT :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 


#6
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}\geq 1$ 

 

cái này đúng với xyz=1 :icon6:

Cm cái này ra sao?

??

Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$



#7
PolarBear154

PolarBear154

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 396 Bài viết

??

Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$

Thiếu cái bình phương ^^


Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc... 


#8
tuananh2000

tuananh2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết

??

Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$

Mấy sếp cho em hỏi với , nếu c/m đc cái này thì chỉ suy ra đc $\frac{1}{x+x^{2}+1}\geq 1$ chứ đâu có suy ra đc c/m ở đề đâu (do đặt khác mà )


Live more - Be more  


#9
PolarBear154

PolarBear154

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 396 Bài viết

Mấy sếp cho em hỏi với , nếu c/m đc cái này thì chỉ suy ra đc $\frac{1}{x+x^{2}+1}\geq 1$ chứ đâu có suy ra đc c/m ở đề đâu (do đặt khác mà )

Cái phần này

 

??

Đặt $x= \frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ac}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x+x^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+abc\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}= 1$

chỉ là bạn ấy làm bài toán phụ cmr khi có xyz=1 thì có 

$\sum \frac{1}{1+x+x^2}\geq 1$
thôi, không ảnh hưởng gì đến bài toán bạn nhé

megamewtwo  

 

 

Nên đặt x=$\frac{mn}{p^{2}}$,... để tránh các bạn bị nhầm với biến a, b, c đã cho bạn nhé 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 14-06-2014 - 09:09

Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc... 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh