I. SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH VECTUER
1. Hàm vectuer đối vô hướng.
Định nghĩa: Nếu ứng với mỗi giá trị của đại lượng vô hướng $t,\, \alpha\leq t\leq \beta$ ta có một vectuer xác định $\overrightarrow{V}$ thì $\overrightarrow{V}$ gọi là hàm vectuer đối vô hướng $t$.
Ký hiệu $ \overrightarrow{V}= \overrightarrow{V}(t)$
Theo định nghĩa với các giá trị khác nhau của $t$ ta có những vectuer $\overrightarrow{V}$ khác nhau, đó là các vectuer tự do, ta có thể đưa chúng về cùng gốc toạ độ $O$ bằng các đặt $\overrightarrow{V}(t)=\overrightarrow{OM}$, lúc đó $\overrightarrow{V}(t)$ gọi là hàm bán kính vectuer của điểm $M$ và kí hiệu là $\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{OM}$.
Nếu $x,\, y,\, z$ là toạ độ của $M$ thì $x=x(t),\,y=y(t),\,z=z(t)$ và $\overrightarrow{r}=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}$.
Ta gọi hàm $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)$ là liên tục tại $t=t_0$ nếu $\lim_{t\to t_0}\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r}(t_0)$.
2. Đạo hàm của hàm vectuer
a. Định nghĩa: Cho hàm vectuer, $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t),\, \alpha\leq t\leq\beta$, xét tại $t$, cho $t$ số gia $\Delta t$ thì $\overrightarrow{r}$ có vectuer $\Delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left ( t+\Delta t\right )-\overrightarrow{r}(t)$
Nếu $\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}$ tồn tại thì giới hạn này gọi là đạo hàm của hàm vectuer $\overrightarrow{r}$ theo đối vô hướng $t$ tại đểm $t$.
Ký hiệu $\overrightarrow{r}'(t),$ hay $ \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}$
b. Ý nghĩa hình học
Vectuer đạo hàm của hàm vectuer có phương trùng với phương của tiếp tuyển với tốc đồ của hàm vectuer tại điểm tương ứng.
c. Ý nghĩa cơ học
Độ dài của vectuer đạo hàm của bán kính vectuer $\overrightarrow{r}$ của điểm $M$ tại thời điểm $t$ bằng tốc độ của điểm $M$ tại thời điểm $t$.
d. Đạo hàm của hàm vectuer.
Cho vectuer $\overrightarrow{r}=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{r}'=x'(t)\overrightarrow{i}+y'(t)\overrightarrow{j}+z'(t)\overrightarrow{k}.$
$\Rightarrow\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left (\frac{ d\overrightarrow{r}}{dt} \right )=\overrightarrow{r}''=x''(t)\overrightarrow{i}+y''(t)\overrightarrow{j}+z''(t)\overrightarrow{k}$
II. CÁC YẾU TỐ CỦA GIẢI TÍCH VECTUER.
1. Trường vô hướng.
a. Định nghĩa:
Trường vô hướng là phần không gian mà tại mỗi điểm $M(x,y,z)$ của nó có xác định một đại lượng vô hướng $u,\, u(M)=u(x,y,z)$ gọi là hàm vô hướng của nó.
Nếu hàm vô hướng $u$ không phụ thuộc vào $z:\, u=u(x,y)$ thì trường xác định bới $u$ gọi là trường phẳng.
Nếu $u$ không phụ thuộc thời gian thì trường gọi là trường dừng, trái lại thì gọi là trường không dừng.
Quỹ tích các điểm $M(x,y,z)$ của trường mà $u$ lấy cùng một trị số gọi là mặt đồng mức hay mặt đẳng trị của trường.
Như vậy phương trình của mặt đồng mức là $u=u(x,y,z)=C$ vì $C$ có thể lấy nhiều giá trị khác nhau nên trong trường có nhiều mặt đồng mức khác nhau, không giao nhau.
Thí dụ: Đối với trường điện thế thì mặt đồng mức có phương trình:
$u=\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=C\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left ( \frac{q}{C} \right )^2$
Đó là những mặt cầu đồng tâm $O$, bán kính $\frac{q}{C}$. Trong trường hợp trường phẳng $u=u(x,y)$ thì quỹ tích các điểm $u(x,y)=C$ gọil à đường đồng mức.
Bây giờ ta chuyển sang xét các đặc trưng quan trọng của trường là tốc độ biến thiên của trường theo một hướng bất kỳ và hướng mà tốc độ biến thiên là lớn nhất.
b. Đạo hàm theo hướng.
Ta xét các đạo hàm riêng $\frac{\partial u}{\partial x},\,\frac{\partial u}{\partial y},\,\frac{\partial u}{\partial z}$ của hàm số $u=u(x,y,z)$, về cơ học các đạo hàm này biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số đối với $x,y,z$ hay cũng thế theo các hướng của trục $Ox, Oy, Oz$
Cho một hướng đặc trưng bằng vectuer đơn vị $\overrightarrow{e}\left ( \cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma \right )$ và hàm $u=u(M)=u(x,y,z)$
Xét các điểm $M(x,y,z),\, M_1(x_1,y_1,z_1)$ sao cho $\overrightarrow{MM_1}$ song song với $\overrightarrow{e}$
Đặt $\rho =\left | \overrightarrow{MM_1} \right |,\,\Delta x=x_1-x,\, \Delta y=y_1-y,\,\Delta z=z_1-z,\,$ thì $\Delta x=\rho\cos\alpha,\,\Delta y=\rho\cos\beta,\,\Delta x=\rho\cos\gamma$
Nếu $\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta u}{\rho}=\lim_{\rho\to0}\frac{u(M_1)-u(M)}{\rho}=\lim_{\rho\to0}\frac{u(x+\rho \cos\alpha,y+\rho \cos\beta,z+\rho \cos\gamma)-u(x,y,z)}{\rho}$ tồn tại, thì giới hạn này đạo hàm của hàm số $u$ tại điểm $M$ theo hướng $\overrightarrow{e}$.
Ký hiệu $\frac{\partial u}{\partial e}=\lim_{\rho\to0}\frac{\Delta u}{\rho}$
Định lý: Nếu hàm $u=u(x,y,z)$ khả vi tại $M(x,y,z)$ thi đạo hàm theo hướng $\overrightarrow{e}\left ( \cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma \right )$ tại $M(x,y,z)$ tồn tại và được tính theo công thức:
$$\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$$
Hệ quả:
+) Nếu cho $\overrightarrow{e'}\left ( \cos \alpha', \cos\beta',\cos\gamma' \right )$ ngược với hướng của $\overrightarrow{e}\left ( \cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma \right )$ thì $\frac{\partial u}{\partial e'}=-\frac{\partial u}{\partial e}$
+) Nếu trường phẳng $u=u(x,y)$ thì $\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\sin\alpha$ vì $\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$
Thí dụ: Tìm đạo hàm của hàm số $u=xyz$ tại điểm $M(5,1,2)$ theo hướng $\overrightarrow{e}$ nối từ điểm $M$ đến $M_1(7,-1,3)$.
Lời giải:
Ta có đạo hàm tại $M(5,1,2)$$\frac{\partial u}{\partial x}=yz=2,\frac{\partial u}{\partial y}=xz=10,\frac{\partial u}{\partial z}=xy=5$
Mặt khác $\overrightarrow{MM_1}=\left ( 2,-2,1 \right )$ nên $\cos\alpha=\frac{2}{3},\cos\beta=-\frac{2}{3},\cos\gamma=\frac{1}{3}$.
Vậy theo công thức tính đạo hàm theo hướng ta có:
$$\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma=-\frac{11}{3}$$
Dấu $(-)$ chứng tỏ hàm số $u$ là giảm theo hướng $\overrightarrow{e}$.
c. Gradient
Bây giờ ta xét vấn đề: Tốc độ biến thiên của trường theo hướng nào là lớn nhất?
Xét $\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$. Ta biết $\overrightarrow{e}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ và hàm vectuer $\overrightarrow{g}=\left ( \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z} \right )$ thì $\frac{\partial u}{\partial e}=\overrightarrow{g}.\overrightarrow{e}=\left | \overrightarrow{g} \right |\left | \overrightarrow{e} \right |\cos\varphi=\left | \overrightarrow{g} \right |\cos\varphi$ với $\varphi$ là góc giữa $\overrightarrow{g}$ và $\overrightarrow{e}$.
Ta thấy $\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |$ lớn nhất khi $\left | \cos\varphi \right |=1$. Ký hiệu $\max\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |=\left | \overrightarrow{g} \right |$
Người ta gọi $\overrightarrow{g}$ là vectuer gradient của trường vô hướng $u$ và ký hiệu $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{grad u}$.
Như vậy $\overrightarrow{gradu}=\frac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\overrightarrow{k}$ là các vectuer đơn vị trên 3 trục.
$$\max\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |=\left | \overrightarrow{gradu} \right |=\sqrt{\left ( \frac{\partial u}{\partial x} \right )^2+\left ( \frac{\partial u}{\partial y} \right )^2+\left ( \frac{\partial u}{\partial z} \right )^2}$$
và $\frac{\partial u}{\partial e}=\left | \overrightarrow{gradu} \right |\cos\varphi=proj_{\vec{e}}\, \overrightarrow{gradu}$
Định lý 1: Đạo hàm của $u$ theo hướng $\vec{e}$ bằng hình chiếu của vectuer gradient của trường $u$ trên $\vec{e}$. Đó là sự liên hệ giữa đạo hàm theo hướng và gradient.
Thí dụ: Xác định gradient của trường điện thế $u=\frac{q}{r}=\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ và tốc độ biến thiên lớn nhất của trường.
Lời giải:
Ta có $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{qx}{\left ( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right )^3}=-\frac{qx}{r^3}$
Tương tự $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{qy}{r^3},\, \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{qz}{r^3}$
Do đó $\overrightarrow{gradu}=-\frac{q\left ( x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \right )}{r^3}=-\frac{q\vec{r}}{r^3}$
Tốc độ biến thiên lớn nhất của trường là $V_{\max}=\max\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |=\left | \overrightarrow{gradu} \right |=\frac{q}{r^2}$
Ta biết mặt đồng mức của trường là những mặt cầu đồng tâm $O$, do đó vectuer $\overrightarrow{gradu}=-\frac{q\vec{r}}{r^3}$ là thẳng góc với các mặt đồng mức.
Định lý 2: Gradient của trường vô hướng $u=u(x,y,z)$ tại một điểm là đồng phương với pháp tuyến của mặt đồng mức của trường đi qua điểm ấy.
Hệ quả: Đạo hàm theo hướng $\frac{\partial u}{\partial e}$ tại $M$ triệt tiêu trên mọi hướng tiếp xúc với mặt đồng mức qua điểm $M$.
Tính chất:
1) $\overrightarrow{grad}\left ( u_1+u_2 \right )=\overrightarrow{gradu_1}+\overrightarrow{gradu_2}$
2) $\overrightarrow{grad}(Cu)=C\overrightarrow{gradu},\,\,C=const$
3) $\overrightarrow{grad}(u_1u_2)=u_1\, \overrightarrow{gradu_2}+u_2\, \overrightarrow{gradu_1}$
4) $\overrightarrow{grad}f(u)=f'(u)\, \overrightarrow{gradu}$
Bài tập.
Bài 1. Xác định mặt đồng mức của các trường vô hướng:
a) $u=f(\rho),\: \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
b) $u=f( r ),\, r=\sqrt{x^2+y^2}$
c) $u=\arcsin\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng theo hướng của:
a) $u=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z}{c^2}$ tại $M(x,y,z)$ theo hướng của bán kính vectuer của điểm đó.
Khi nào thì $\frac{\partial u}{\partial e}=\left | \overrightarrow{gradu} \right |$
b) $u=\frac{1}{r},\, r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ theo hướng của $\overrightarrow{e}\left ( \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma \right )$.
Khi nào thì $\frac{\partial u}{\partial e}=0$
c) $u=xy-z^2$ tại điểm $M(-9,12,10)$ theo hướng của phân giác thứ nhất gốc toạ độ $Oxy$.
Tính $\left | \overrightarrow{gradu} \right |$ tại $M$.
Bài 3. Cho $u=x^3+y^3+z^3-3xyz$ tại điểm nào thì
a) $\overrightarrow{gradu}\perp Oz$
b) $\overrightarrow{gradu}//Oz$
c) $\overrightarrow{gradu}=0$
Còn tiếp...