Chủ đề này có 1 trả lời

[skyfallblack2]

Cho hpt $\left\{\begin{matrix} xyz+z=a & & \\ x.y.z^{2}+z=b & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 & & \end{matrix}\right.$

Tìm a,b để hệ có 1 cặp nghiệm duy nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skyfallblack2: 14-06-2014 - 23:07

[Kool LL]

Cho hpt $(I): \begin{cases} xyz+z=a & (1) \\ x.y.z^{2}+z=b & (2) \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 & (3) \end{cases}$

Tìm a,b để hệ có 1 cặp nghiệm duy nhất

TH $\boxed{xy=0}$ thì $(I)$ thành $\begin{cases} xy=0 \\ z=a=b \\ x^{2}+y^{2}=4-b^{2} \end{cases}$ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow a=b=\pm2$.

Khi $a=b\ne0$ thì $(I)$ thành $\begin{cases}z(xy+1)=b\\x.y.=xyz\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\end{cases}$$\Leftrightarrow (a): \begin{cases}z=1\\xy=b-1\\x^2+y^2=3\end{cases}$ hoặc $(b): \begin{cases}z=b\\xy=0\\x^2+y^2=4-b^2\end{cases}$

Khi $a=b=\pm2$ thì hệ $(b)$ có 1 nghiệm, hệ $(a)$ có 2 nghiệm và khác nghiệm hệ $(a)$. Hệ $(I)$ có nhiều hơn 1 nghiệm.

Do đó để $(I)$ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow xy\ne0$.

TH $\boxed{xy\ne0}$ $(1)$ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow (2)$ có nghiệm $z$ duy nhất $\Rightarrow \Delta_{(2)}=0\Rightarrow 4bxy=-1$.

Khi đó $z=\frac{-1}{2xy}=2b$ và $(1)$ thành $\begin{cases}a=2b-\frac{1}{2}\\z=2b\ ;\ xy=\frac{-1}{4b}\\(x+y)^2=4-4b^2-\frac{1}{2b}=S\end{cases}$

Nếu $S<0$ thì $(1)$ VN.

Nếu $S=0$ thì $(1)$ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow\begin{cases}x+y=0\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=0$ (!)

Nếu $S>0$ thì $(1)\Rightarrow\ (\ c)\ :\ \begin{cases}x+y=\sqrt{S}\\xy=\frac{-1}{4b}\end{cases}$ hoặc $(d)\ :\ \begin{cases}x+y=-\sqrt{S}\\xy=\frac{-1}{4b}\end{cases}$

Khi đó $(I)$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow\begin{cases}(\text{c) có 1 nghiệm}\\ \text{(d) VN}\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}(\text{c) VN}\\ \text{(d) có 1 nghiệm}\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}S=\frac{-1}{b}\\S<\frac{-1}{b}\end{cases}$ (!) hoặc $\begin{cases}S<\frac{-1}{b}\\S=\frac{-1}{b}\end{cases}$ (!)

Vậy không tồn tại $a,b$ để cho $(1)$ có nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 15-06-2014 - 11:33