Chủ đề này có 34 trả lời

[toilachinhtoi]

Trong bài này, chủ yếu tôi muốn trình bày cho các bạn học sinh phổ thông, một kết quả cơ bản của toán học: Nguyên lý ánh xạ co của S. Banach.

I) Định lý điểm bất động Banach

Khái niệm không gian mêtric: Một không gian mêtric X là một tập hợp trên đó có định nghĩa một khoảng cách d(x,y) giữa hai điểm x,y thuộc X. Các bạn có thể lấy ví dụ X là tập hợp những căn nhà trên cùng một con đường, các căn nhà được đánh số liên tiếp nhau và khoảng cách giữa hai căn nhà là trị tuyệt đối hiệu các số nhà của hai căn nhà. Ta thấy rằng khoảng cách này không giống như khoảng cách mà chúng ta thông thường hay dùng. Tuy nhiên nó vẫn giữ các tính chất cơ bản của khoảng cách thông thường

1) Khoảng cách giữa hai căn nhà khác nhau là dương và đối xứng. Điều này được viết bởi d(x,y)=d(y,x)>0 nếu x khác y, và khoảng cách giữa một căn nhà với chính nó là 0: d(x,x)=0.

2) Khoảng cách từ x đến y + khoảng cách từ y đến z >= khoảng cách từ x đến z. Điều này giống như bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác ABC: AB+BC>=AC. Ta biểu diễn tính chất này bởi d(x,y)+d(y,z)>=d(x,z).

Khái niệm không gian mêtric đầy đủ: Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu cho một dãy x_n các phần tử sao cho nếu n,m càng lớn thì x_n và x_m càng gần nhau (tính chất này được gọi là tính chất Cauchy) thì tồn tại một phần tử x trong X sao cho x_n càng ngày càng gần với x (tính chất này gọi là hội tụ về x).

Định lý ánh xạ co: Cho không gian mêtric đầy đủ X. Cho f:X->X. Nếu tồn tại 0<=a<1 sao cho với mọi x,y ta có d(f(x),f(y))<=ad(x,y). Khi đó tồn tại duy nhất x_0 thỏa mãn f(x_0)=x_0, và nếu ta xét dãy x_n như sau x_2=f(x_1), x_3=f(x_2),...thì x_n hội tụ về x.

f thỏa tính chất trong định lý này gọi là ánh xạ co vì khoảng cách giữa các điểm ảnh của f nhỏ hơn khoảng cách giữa các điểm ban đầu, nghĩa là f làm các điểm co lại.

Việc chứng minh kết quả này chỉ gây khó khăn cho các bạn phổ thông về mặt thuật ngữ thôi, còn thực chất chỉ dùng kết quả về cấp số nhân lùi thôi. Mặc dù chứng minh đơn giản nhưng định lý này là một trong những kết quả cơ bản nhất của toán học.

II) Ứng dụng vào toán học phổ thông:

Trong các bài toán về dãy, các bạn phổ thông thường gặp dạng cho dãy x_{n+1}=f(x_n), chứng minh x_n hội tụ. Cách giải ở phổ thông thương là xét dãy tăng hay giảm và bị chận, hay xét riêng dãy chẵn và lẻ. Nếu áp dụng định lý Banach ta có một cách rất hệ thống và hiệu quả để giải những bài như vậy.

VD: Cho x_{n+1}=cos(x_n). Chứng minh x_n hội tụ. (Lưu ý: Đây là một trong những bài toán thi qualify PhD ở một số trường ĐH ở Mỹ).

Giải: Nhận xét -1<=x_n<=1 với n=2,3,... Do đó 0<=x_n<=1 với n=3,...
Dãy trên có dạng x_{n+1}=f(x_n), f:[0,1]->[0,1], f(x)=cos x. Trên [0,1] ta có f'(x)=-sin x, do đó |f'(x)|<= sin 1<1 (nếu |f'(x)|<=a<1 thì f là ánh xạ co). Vậy áp dụng định lý ánh xạ co ta có x_n hội tụ tới x_0 thỏa x_0=f(x_0)=cos(x).

III) Ứng dụng trong toán học hiện đại:

Nguyên lý ánh xạ co được dùng rất nhiều trong toán học. Chỉ đơn cử một ví dụ là cơ sở toán học của chương trình tìm kiếm của Google có sử dụng nguyên lý này, theo như bài báo dưới đây

http://www.claymath....004.php#carlson

nhan đề là "The Mathematics of Google".

Hoặc một kết quả tưởng chừng như vô lý sau đây: Nếu các bạn trải một bản đồ thế giới ra thì sẽ có đúng một điểm trên bản đồ trùng vị trí với điểm mà nó biểu diễn.

[hoang]

Tôi cũng từng đi nghe seminaire về nguyên tắc căn bản của Google nhưng mà không thấy nói gì đến cái ánh xạ co cả. Ý tưởng chính là Google xắp xếp các website trong cơ sở dữ liệu các trang web của nó dựa theo một cái gọi là độ quan trọng của trang web ( xuất phát từ ý tưởng của độ đo ). Độ quan trọng của trang web được tính dựa trên mô hình thống kê. Nó dựa trên khá nhiều dữ liệu như : khi một người dùng vào trang web thì sác xuất click vào link đến một trang khác là bao nhiêu, sác xuất đóng trang web lại là bao nhiêu,.....
Có lẽ cái ánh xạ co chỉ dùng để sử dụng trong quá trình tính toán này thôi

[hoadaica]

Nhờ bạn toilachinhtoi giải thích hộ về sự đầy đủ của một không gian topo. Cảm ơn rất nhiều!

[toilachinhtoi]

Chào bạn hoadaica. Thực sự là tôi không chuyên về topo nên không biết nhiều lắm. Nhưng tôi cũng xin trình bày thử một ý kiến của mình.

Một khái niệm tương ứng với dãy trong các không gian mêtric là khái niệm lưới trong không gian topo. Như vậy có thể ta sẽ định nghĩa một khái niệm là lưới Cauchy. Vậy ta sẽ nói không gian topo là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy đều hội tụ. Không biết định nghĩa như vậy đúng không?

Về tài liệu topo thì tôi thấy cuốn General Topology của R. Kelly là rất tốt. Hầu như mọi vấn đề của topo đều được trình bày trong đó.

[pizza]

Không có khái niệm không gian topo đầy đủ vì khái niệm đầy đủ không phải là tính chất topo. Đơn giản nhất R và (0,1) đồng phôi nhưng 1 thằng đủ còn 1 thằng không .

[tthao]

bạn pizza nói liều rồi, tuy nhiên toilachinhtoi có ý kiến đưa ra là tự nhiên nhưng không thật chính xác, nếu chỉ có vậy thì nó chỉ đơn giản là lấy râu ông nọ cắm cằm bà kia. Để xác định tính đủ như toilachinhtoi nói ta cần bổ sung cho không gian nền tính đều (không gian đều).

Ngoài ra tính đủ có nhiều nghĩa: ngoài tính đủ của lớp không gian topo đều, còn có tính đủ theo nghĩa Cech. Chi tiết mọi người nên tìm hiểu và đọc lại cho kĩ rồi hãng phán!

HẾT.

[pizza]

Uh , sợ quá . Vậy nhờ tthao đn hộ không gian topo đầy đủ nhé ( theo nghĩa đối với kg mêtric thì nó trở lại đn thông thường ). Nói vậy thôi chứ nếu đn được thì dĩ nhiên nó phải là một bất biến , mà trường hợp đơn giản như trên (0,1) thì đã ko bất biến rồi .

Nói chung , tthao nên nghĩ kĩ rồi hẵng phán . Đang nói về kg tổng quát chứ có bàn từng lớp đâu . Nói vậy thì kg vector topo cũng đn được kg đủ đấy thôi .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 20-03-2006 - 09:40

[tthao]

Tôi ngạc nhiên vì những gì pizza vừa nói, nó nằm ngoài hình dung của tôi về người này. Ngay cả các không gian tô pô, chẳng mấy nhà toán học dại gì mà xét các không gian không thỏa mãn điều kiện tách (Haussdorff). Cho nên việc đưa ra nhiều hình dung về tính đủ cho các không gian tô pô là chuyện xưa như trái đất, ai cũng biết!
Tôi không thích tranh cãi thêm, và không có thời giờ viết ra các khái niệm ở đây, ai còn băn khoăn, có tự trọng thì nên tự mà đi tìm hiểu đấy.

TTh.

[pizza]

tthao nói hài hước nhỉ ( topic toán nên ko dùng từ mất mỹ quan ) . Tớ không lạ gì bác và cũng không quan tâm đến những hình dung "từ cấm" của bác . Còn nói về tự trọng , hy vọng bác sẽ có dịp nhìn lại bài bác post bên trên .

Ai thích bình phẩm về người khác theo kiểu tthao xin mời xuống quán trọ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 20-03-2006 - 13:55

[pizza]

Nhân nói về kg đủ , 100% không thể đn cho kg topo tùy ý . Muốn đn được kg đủ , cần trang bị cấu truc phụ cho kg ban đầu .Chẳng hạn kg metric -> giả metric -> kg đều ( tr.h riêng là kgvttp ) .

[Kakalotta]

Tôi ngạc nhiên vì những gì pizza vừa nói, nó nằm ngoài hình dung của tôi về người này. Ngay cả các không gian tô pô, chẳng mấy nhà toán học dại gì mà xét các không gian không thỏa mãn điều kiện tách (Haussdorff). Cho nên việc đưa ra nhiều hình dung về tính đủ cho các không gian tô pô là chuyện xưa như trái đất, ai cũng biết!
Tôi không thích tranh cãi thêm, và không có thời giờ viết ra các khái niệm ở đây, ai còn băn khoăn, có tự trọng thì nên tự mà đi tìm hiểu đấy.

TTh.

Không hiểu tý gì về vấn đề cả.
VIệc nghiên cứu các không gian có tô po đủ xấu là một trong những hướng nghiên cứu chủ đạo trong toán học hiện đại trong vòng 20 năm gần đây. NÓ bắt ngừôn từ việc nghiên cứu topo của đối ngẫu trong lý thuyết biểu diễn của nhóm compact địa phương và đại số toán tử, sau đó phát triển thêm nhờ vào nghiên cứu topo của không gian các lá của một đa tạp phân lá, hoặc các không gian rất gần với với các phiên bản lượng tử hóa của các hệ cơ học. Công cụ nghiên cứu hình học của các không gian topo đủ xấu này chính là thay các đại số giao hoán cổ điển bằng các đại số không giao hoán tổng quát mà encode các cấu trúc hình học và topo liên quan.
Cụ thể, người ta có thể nghiên cứu giải tích điều hòa trên nhóm Lie và nhóm luợng tử thông qua các khoong gian có topo tồi này. Đối với hình học Poisson, người ta xây dựng một C*- đại số ứng với không gian có topo rất tồi này, còn gọi là C*- đại số của Alan Connes. Đối với các đa tạp phân lá, nơi mà topo của không gian các lá là tồi, người ta đưa việc nghiên cứu về nghiên cứu đại số các toán tử vi phân phân lá trên đó. Đằng sau cái đó chính là KK_ lý thuyết song bất biến, đồng điều tuần hoàn cyclic và đặc trưng chern-connes không giao hoán.
Nói một cách đơn giản, không gian có topo đủ xấu chính là các ví dụ của không gian trong hình học lượng tử. Luợng tử hóa một không gian hình học sẽ làm nó mất đi topo tốt đẹp thông thuờng.
Tôi có lời khuyên tthao không hiểu vấn đề thì đừng có nói linh tinh. Đằng sau cái này là vài cái giải Fields đấy.

[tthao]

Đã định thôi nhưng thấy Kakalotta đưa ra loạt bình phẩm thì tôi chỉ vào đính chính một điều: tôi không bàn về hướng nghiên cứu phát triển gì đấy của topo hình học , và khả năng của tôi cũng không có điều kiện để tìm hiểu. Chỗ tôi đưa ra thảo luận chỉ là việc bàn về tính đầy của không gian. Việc tôi đưa ra thêm nhận xét về không gian tách, đó là nhìn chỉ trong phạm vi mà tôi đang làm, nơi mà ngay các không gian nền cực tốt các vấn đề còn đã rất khó. Do đó điều này tôi xin miễn bàn ở đây, sau này có điều kiện tôi sẽ tiếp tục!
Còn bạn pizza tôi từ trước đến giờ chưa hề ngại chuyện ''Tớ không lạ gì bác ''. Tôi vẫn bảo vệ ý kiến của mình: định nghĩa được tính đầy cho lớp không gian tô pô đều, không cần cấu trúc tuyến tính do đó không cần cấu trúc tuyến tính tương thích.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthao: 20-03-2006 - 16:26

[pizza]

Ơ , tưởng tthao đn được tính đầy đủ cho mọi không gian topo , hóa ra giờ chỉ còn kg đều thôi à ? Nói thật , đn tính đầy đủ của không gian đều ông tướng nào chả biết , bảo lưu cái con khỉ .

Chuyện ngại hay ko ngại cũng buồn cười .

Mà topic đã đi quá xa rồi nhỉ . Xin nhận lỗi và tự phạt không post bài trong 24h . Hình phạt bắt đầu có hiệu lực sau 1h nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 20-03-2006 - 20:17

[hoadaica]

Chào các bác!
Tôi chỉ hỏi vậy thôi mà vô tình đã gây ra cãi vả trong nội bộ, thiệt xin lỗi!
Những thứ này tôi thấy rất cần, đặc biệt là dân học giải tích hàm, nên mới nhờ bạn toilachinhtoi giải thích hộ cho anh em biết, vì không phải ai cũng có điều kiện đọc được những cuốn sách hay như các bác đâu.
Việc xác định một không gian topo đủ là việc làm được. Có 2 khái niệm tương đương nhau đó là "bộ lọc" và "lưới". Những ai yêu thích Burbaki hoặc quen với tài liệu bằng tiếng Pháp thì gần với "bộ lọc", phần còn lại thì dùng "lưới". Đưa ra định nghĩa lưới Cosi rồi dẫn đến tính đầy đủ, lưới Cosi được định nghĩa thông qua "cấu trúc đều".
Vậy thôi.

[pizza]

Chưa hết hạn nên vẫn post .

Việc xác định một không gian topo đủ là việc làm được.

Nhờ hoadaica chỉ giáo . Nếu đúng mình treo nick 1 tuần mới hết tội .

[pizza]

copy từ Bourbaki :

lấy số vô tỉ >0 . Với mỗi (x,y) trong http://dientuvietnam...metex.cgi?Q^{ } ( http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q^ là các số hữu tỉ không âm ) và với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu http://dientuvietnam...x.cgi?B_{n}(x,y) là tập gồm (x,y) và (z , 0) sao cho | z-( x+ y)|<1/n . Cm khi n chạy trên N và (x,y) chạy trên http://dientuvietnam...metex.cgi?Q^{ } thì http://dientuvietnam...tex.cgi?B_n(x,y)
tạo thành một cơ sở của 1 topo trên http://dientuvietnam...metex.cgi?Q^{ } . Hỏi với topo này http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Qxhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q^{+} có đầy đủ không .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 20-03-2006 - 21:06

[hoadaica]

cậu đọc lại xem tôi nói gì? Ta có thể đưa ra khái niệm một không gian topo đầy đủ, còn không gian topo đó có đầy hay không thì còn tùy.
Đúng thiệt, không biết các cậu học đến năm mấy rồi mà còn thích cãi nhau thế không biết!

[Kakalotta]

Không gian topo thôi thì đầy đủ thế quái nào được cơ chứ? chả hiểu cãi nhau cái gì nữa.

[bandmaster]

Hi tất cả! Tôi nói vậy được không nhá? Anh bạn hoadaica, toilachinhtoi, tthao thì đi tìm một khái niệm về không gian topo đầy đủ (nói nôm na là một khái niệm như một mở rộng tính đầy đủ trong không gian metric). Còn pizza, kaka thì lại nghĩ rằng mấy bác kia tìm định nghĩa tính đầy đủ của một không gian như là một tính chất topo (bất biến qua phép đồng phôi). Nếu đúng như vậy thì như các bác giải thích, ai cũng có lý cả. Nếu đúng thì đừng cãi nhau nữa nhá.

To pizza: Bình thường pizza hài hước, đối xử nhẹ nhàng với mấy bạn gái lắm mà? Có lẽ tthao không là con gái?

[pizza]

Bị mọi người nhắc nhở , pz xấu hổ quá . Đúng là hôm qua mình đã sai khi để ý đến những cái không đáng để ý , mọi người thông cảm nhé .

Chỉ xin nói một câu nữa thôi : ai có dn không gian topo đầy đủ ( đn này áp dụng cho mọi không gian và trong trường hợp không gian metric , ta thu lại dn thông thường ) xin vui lòng gửi tn cho mình . Đặc biệt , đặt gạch chờ tin nhắn của chú Hoadaica vì chú ấy đã có .

(Band)
To pizza: Bình thường pizza hài hước, đối xử nhẹ nhàng với mấy bạn gái lắm mà

Uh , tớ cũng thấy thế , cảm ơn nhiều . Vậy mà nhiều cô lại bảo tớ chỉ trêu ghẹo con gái là giỏi , đúng là không hiểu con gái thời nay thế nào nữa

Xin hết .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 21-03-2006 - 22:10