Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 haianhngobg

haianhngobg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Ngô Sĩ Liên

Đã gửi 16-06-2014 - 03:29

Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$



#2 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 19-06-2014 - 21:45

Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$

 

Ta có:

 

$\frac{ab}{1+c^2}=\frac{ab}{a^2+c^2+b^2+c^2}\leq\frac{ab}{2\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )$

 

Tương tự ta có:  $\frac{bc}{1+a^2}\leq\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \right )$

 

Áp dụng bất đẳng thức:  $4(x^3+y^3)\geq(x+y)^3$ ta có:

 

$\frac{a^3b^3+b^3c^3}{a^3c^3}=\frac{b^3}{c^3}+\frac{b^3}{a^3}\geq\frac{1}{4}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$

 

Do đó:

 

$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right )^3$

 

$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$

 

Đặt: $\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=t>0$ rồi khảo sát hàm số.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh