Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:
P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$
Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:
P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$
Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:
P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$
Ta có:
$\frac{ab}{1+c^2}=\frac{ab}{a^2+c^2+b^2+c^2}\leq\frac{ab}{2\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )$
Tương tự ta có: $\frac{bc}{1+a^2}\leq\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \right )$
Áp dụng bất đẳng thức: $4(x^3+y^3)\geq(x+y)^3$ ta có:
$\frac{a^3b^3+b^3c^3}{a^3c^3}=\frac{b^3}{c^3}+\frac{b^3}{a^3}\geq\frac{1}{4}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$
Do đó:
$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right )^3$
$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$
Đặt: $\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=t>0$ rồi khảo sát hàm số.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh