Đến nội dung

Hình ảnh

P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
haianhngobg

haianhngobg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$



#2
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$

 

Ta có:

 

$\frac{ab}{1+c^2}=\frac{ab}{a^2+c^2+b^2+c^2}\leq\frac{ab}{2\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )$

 

Tương tự ta có:  $\frac{bc}{1+a^2}\leq\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \right )$

 

Áp dụng bất đẳng thức:  $4(x^3+y^3)\geq(x+y)^3$ ta có:

 

$\frac{a^3b^3+b^3c^3}{a^3c^3}=\frac{b^3}{c^3}+\frac{b^3}{a^3}\geq\frac{1}{4}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$

 

Do đó:

 

$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right )^3$

 

$P\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \right )^3$

 

Đặt: $\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=t>0$ rồi khảo sát hàm số.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh