Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\left ( \frac{sinx}{x} \right )^3>cosx,\forall x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 LuminousVN

LuminousVN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Dầu Tiếng, tỉnh Bình Dương

Đã gửi 16-06-2014 - 20:55

Chứng minh rằng $\left ( \frac{sinx}{x} \right )^3>cosx,\forall x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$


Đây là FB của mình. Mong được làm quen với các bạn https://www.facebook...antri.nguyen.71 :D


#2 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 17-06-2014 - 01:29

Chứng minh rằng $\left ( \frac{sinx}{x} \right )^3>cosx,\forall x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$ (1)

(1) $\Leftrightarrow x^3<\frac{\sin^3x}{\cos x}=\tan x.\sin^2x=\tan x(1-\cos^2x)=\tan x-\frac{1}{2}\sin 2x$

Xét $f(x)=\tan x-\frac{1}{2}\sin 2x-x^3$ trên $\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$

$f'(x)=\tan^2x+1-\cos 2x-3x^2$

$f''(x)=2\tan x(\tan^2x+1)+2\sin 2x-6x=2\tan^3x+2\tan x+2\sin 2x-6x$

$f'''=6\tan^2x(\tan^2x+1)+2(\tan^2x+1)+4\cos 2x-6=6\tan^4x+8\tan^2x+4\cos 2x-4$ $=6\tan^4x+8\tan^2x-8\sin^2x$

$=6\tan^4x+8\tan^2x\left(1-\cos^2x \right)\ge0,\ \forall x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow \forall x\in\left (0;\frac{\pi}{2} \right)\ : \  f''(x)> f''(0)=0\Rightarrow f'(x)> f'(0)=0\Rightarrow f(x)> f(0)=0$

Suy ra đpcm.



#3 angelanguyen2311

angelanguyen2311

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 05-09-2016 - 15:37

(\frac{sinx}{x})^3>cosx. \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

(\frac{sinx}{x})^3>cosx. \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Xét g(x)=sinx-x

g'(x)=cosx-1>0 \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Suy ra g(x)>g(0)=0

Đặt f(x)=sin^3x-x^3.cosx

Ta có:

f'(x)=3.sin^2x.cosx-(3x^2.cosx-x^3sinx)

f'(x)=3.cosx(sin^2x-x^2)+x^3sinx

f'(x)=3.cosx(sinx-x)(sinx+x)+x^3sinx>0 \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Do cosx>0 ; sinx-x>0 ; sinx+x>0 ;x^3sinx>0 \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Suy ra f(x)>f(0)
\Leftrightarrow sin^3x>x^3cosx

\Leftrightarrow \frac{sin^3x}{x^3}>cosx (Đpcm)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh