Đến nội dung

Hình ảnh

$\left ( \frac{sinx}{x} \right )^3>cosx,\forall x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
LuminousVN

LuminousVN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Chứng minh rằng $\left ( \frac{sinx}{x} \right )^3>cosx,\forall x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$


Đây là FB của mình. Mong được làm quen với các bạn https://www.facebook...antri.nguyen.71 :D


#2
Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết

Chứng minh rằng $\left ( \frac{sinx}{x} \right )^3>cosx,\forall x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$ (1)

(1) $\Leftrightarrow x^3<\frac{\sin^3x}{\cos x}=\tan x.\sin^2x=\tan x(1-\cos^2x)=\tan x-\frac{1}{2}\sin 2x$

Xét $f(x)=\tan x-\frac{1}{2}\sin 2x-x^3$ trên $\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$

$f'(x)=\tan^2x+1-\cos 2x-3x^2$

$f''(x)=2\tan x(\tan^2x+1)+2\sin 2x-6x=2\tan^3x+2\tan x+2\sin 2x-6x$

$f'''=6\tan^2x(\tan^2x+1)+2(\tan^2x+1)+4\cos 2x-6=6\tan^4x+8\tan^2x+4\cos 2x-4$ $=6\tan^4x+8\tan^2x-8\sin^2x$

$=6\tan^4x+8\tan^2x\left(1-\cos^2x \right)\ge0,\ \forall x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow \forall x\in\left (0;\frac{\pi}{2} \right)\ : \  f''(x)> f''(0)=0\Rightarrow f'(x)> f'(0)=0\Rightarrow f(x)> f(0)=0$

Suy ra đpcm.



#3
angelanguyen2311

angelanguyen2311

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

(\frac{sinx}{x})^3>cosx. \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

(\frac{sinx}{x})^3>cosx. \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Xét g(x)=sinx-x

g'(x)=cosx-1>0 \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Suy ra g(x)>g(0)=0

Đặt f(x)=sin^3x-x^3.cosx

Ta có:

f'(x)=3.sin^2x.cosx-(3x^2.cosx-x^3sinx)

f'(x)=3.cosx(sin^2x-x^2)+x^3sinx

f'(x)=3.cosx(sinx-x)(sinx+x)+x^3sinx>0 \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Do cosx>0 ; sinx-x>0 ; sinx+x>0 ;x^3sinx>0 \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Suy ra f(x)>f(0)
\Leftrightarrow sin^3x>x^3cosx

\Leftrightarrow \frac{sin^3x}{x^3}>cosx (Đpcm)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh