Lời giải
Ta có viết lại dưới dạng tương đương sau
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}-\frac{4}{3}$(*)
+) $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1=\frac{1}{2}\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{ab+bc+ca}$
+)$\frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}-\frac{4}{3}=\frac{8}{9}\sum (\frac{a}{b+c}-\frac{1}{2})$=$\frac{4}{9}\sum \frac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}$
Vậy (*) trở thành :
$(a-b)^{2}S_{c}+(b-c)^{2}S_{a}+(c-a)^{2}S_{b}\geq 0$
Trong đó
-$S_{a}=\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{4}{9(a+b)(a+c)}=\frac{9a^{2}+ab+bc+ca}{18(a+b)(a+c).\sum ab}>0$
Tương tự ta cũng có $S_{b}>0,S_{c}>0$
Kết thúc chứng minh dấu '=' xẩy ra khi a=b=c