Chủ đề này có 2 trả lời

[ILOVECR7]

Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

 $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$

 

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 17-06-2014 - 00:57

[NDP]

Lời giải

Ta có viết lại dưới dạng tương đương sau

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}-\frac{4}{3}$(*)

+) $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1=\frac{1}{2}\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{ab+bc+ca}$

+)$\frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}-\frac{4}{3}=\frac{8}{9}\sum (\frac{a}{b+c}-\frac{1}{2})$=$\frac{4}{9}\sum \frac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}$

 Vậy (*) trở thành :

$(a-b)^{2}S_{c}+(b-c)^{2}S_{a}+(c-a)^{2}S_{b}\geq 0$

Trong đó

-$S_{a}=\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{4}{9(a+b)(a+c)}=\frac{9a^{2}+ab+bc+ca}{18(a+b)(a+c).\sum ab}>0$

Tương tự ta cũng có $S_{b}>0,S_{c}>0$

Kết thúc chứng minh dấu '=' xẩy ra khi a=b=c

[tap lam toan]

Solution 2: Ta sẽ chứng minh $\dfrac{a^{2}}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{9}\geq \frac{8}{9}.\dfrac{a}{b+c}$
$$\Leftrightarrow 9a^{2}\left ( b+c \right )+\left ( ab+bc+ca \right )\left ( b+c \right )\geq 8a\left ( a\left ( b+c \right )+bc \right )$$
$$\Leftrightarrow a^{2}\left ( b+c \right )+\left ( ab+bc+ca \right )\left ( b+c \right )\geq 8abc$$
$$\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 8abc$$
Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$, xây dựng các đánh giá tương tự và ta có (Q.E.D)