Chủ đề này có 3 trả lời

[binvippro]

Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $a+b+c=6$ . Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 14$

Tự hào là thành viên VMF

[yeutoan2604]

Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $a+b+c=6$ . Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 14$

Tự hào là thành viên VMF

Giải:

Đặt $x=a-2;y=b-2;z=c-2$ $\Rightarrow x+y+z=0$ 

$\Rightarrow $ Tồn tại ít nhất 2 số không âm. Giả sử đó là $x,y$ $\Rightarrow $ $xy \geq 0$

Vì $a.b.c \in [1;3;]$ $\Rightarrow $ $x,y,z \in [-1;1]$

Có:

$P=(x+2)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=x^2+y^2+z^2+12\leq |x|+|y|+|z|+12=|x+y|+|z|+12=2|z|+12\leq 14$ (do $x,y,z \in [0;1]$)

[lahantaithe99]

Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $a+b+c=6$ . Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 14$

Tự hào là thành viên VMF

 

Cách khác: ta quy về chứng  minh $ab+bc+ac\geqslant 11$

 

Do $a,b,c\in[1;3]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a-1)(b-1)(c-1)\geqslant 0 & \\ (a-3)(b-3)(c-3)\leqslant 0& \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc-(ab+bc+ac)+5\geqslant 0 & \\ abc-3(ab+bc+ac)+27\leqslant 0 & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geqslant 22\Rightarrow ab+bc+ac\geqslant 11$

 

Do đó ta có đpcm

 

Dấu $=$ khi $(a,b,c)=(1;2;3)$ và hoán vị

[Kool LL]

Giải:

Đặt $x=a-2;y=b-2;z=c-2$ $\Rightarrow x+y+z=0$ 

$\Rightarrow $ Tồn tại ít nhất 2 số không âm. Giả sử đó là $x,y$ $\Rightarrow $ $xy \geq 0$

Vì $a.b.c \in [1;3;]$ $\Rightarrow $ $x,y,z \in [-1;1]$

Có:

$P=(x+2)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=x^2+y^2+z^2+12\leq |x|+|y|+|z|+12=|x+y|+|z|+12=2|z|+12\leq 14$ (do $x,y,z \in [0;1]$)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $x,y,x$ sẽ luôn có 2 số cùng dấu. Chứ ko phải 2 số ko âm.