Chủ đề này có 10 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

 

[khanghaxuan]

Áp dụng BDT cosi dạng phân thức ta có $P\geq \frac{49}{(a+b+c)^{2}}=49$

[CHU HOANG TRUNG]

Áp dụng BDT cosi dạng phân thức ta có $P\geq \frac{49}{(a+b+c)^{2}}=49$

Hình như nhầm dấu hay sao ý 

$(a+b+c)^2\geq 0\Rightarrow \frac{49}{(a+b+c)^2}\leq 49$ 

[khanghaxuan]

Đúng dấu mà bạn , đề cho $a+b+c=1$ nên chỉ cần thế vào thôi mà !

[buiminhhieu]

Áp dụng BDT cosi dạng phân thức ta có $P\geq \frac{49}{(a+b+c)^{2}}=49$

Sai!!

Dấu "=" xảy ra khi nào

[Tran Nguyen Lan 1107]

Áp dụng BDT cosi dạng phân thức ta có $P\geq \frac{49}{(a+b+c)^{2}}=49$

Thế này mới đúng này

Do$\sum a^{2}+2\sum ab=1 =>\sum ab\leq \frac{1}{3}$

=> $\sum a^{2}+\sum ab\geq \frac{2}{3}<=>\frac{1}{\sum a^{2}+\sum ab}\leq \frac{3}{2}$

ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{36}{\sum a^{2}+\sum ab}\geq \frac{(9)^{2}}{1}=81$

Và $\frac{-32}{\sum a^{2}+\sum ab}\geq -48$

Suy ra P$\geq 81-48=33$

Dấu bằng khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

[CHU HOANG TRUNG]

Áp dụng BĐT $\sum x^2\geq \sum xy$

Ta có $\frac{4}{\sum ab }\geq \frac{4}{\sum a^2}\Leftrightarrow \frac{4}{\sum ab+\sum a^2}\geq \frac{4}{2\sum a^2 }=\frac{2}{a^2}$

$P\geq \frac{2}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum a^2}= \frac{11}{\sum a^2}$

Áp dụng BĐT $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$P=\frac{33}{3\sum a^2}\geq \frac{33}{\sum a}= 33$

Vậy $P_{min} = 33$ <=>$ a=b=c=\frac{1} {3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 17-06-2014 - 15:39

[CHU HOANG TRUNG]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

Áp dụng BĐT $\sum x^2\geq \sum xy$

Ta có $\frac{4}{\sum ab }\geq \frac{4}{\sum a^2}\Leftrightarrow \frac{4}{\sum ab+\sum a^2}\geq \frac{4}{2\sum a^2 }=\frac{2}{a^2}$

$P\geq \frac{2}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum a^2}= \frac{11}{\sum a^2}$

Áp dụng BĐT $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$P=\frac{33}{3\sum a^2}\geq \frac{33}{\sum a}= 33$

Vậy $P_{min} = 33$ <=>$ a=b=c=\frac{1} {3}$

[khanghaxuan]

Áp dụng BĐT $\sum x^2\geq \sum xy$

Ta có $\frac{4}{\sum ab }\geq \frac{4}{\sum a^2}\Leftrightarrow \frac{4}{\sum ab+\sum a^2}\geq \frac{4}{2\sum a^2 }=\frac{2}{a^2}$

$P\geq \frac{2}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum a^2}= \frac{11}{\sum a^2}$

Áp dụng BĐT $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$P=\frac{33}{3\sum a^2}\geq \frac{33}{\sum a}= 33$

Vậy $P_{min} = 33$ <=>$ a=b=c=\frac{1} {3}$

 

Áp dụng BĐT $\sum x^2\geq \sum xy$

Ta có $\frac{4}{\sum ab }\geq \frac{4}{\sum a^2}\Leftrightarrow \frac{4}{\sum ab+\sum a^2}\geq \frac{4}{2\sum a^2 }=\frac{2}{a^2}$

$P\geq \frac{2}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum ab}\geq \frac{2}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum a^2}= \frac{11}{\sum a^2}$

Áp dụng BĐT $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$P=\frac{33}{3\sum a^2}\geq \frac{33}{\sum a}= 33$

Vậy $P_{min} = 33$ <=>$ a=b=c=\frac{1} {3}$

HÌnh như bạn nhầm dấu hay sao ấy !

[CHU HOANG TRUNG]

Nghịch đảo lên dấu BĐT đổi chiều bạn ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 17-06-2014 - 16:11

[CHU HOANG TRUNG]

HÌnh như bạn nhầm dấu hay sao ấy !

Đúng là tớ nhầm dấu thật