Chủ đề này có 2 trả lời

[chuonchuonbay]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

[megamewtwo]

biến đổi tương đương ta có $\Leftrightarrow \sum a\left (c+a \right )\left ( a+b \right )\geq \sum a\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

mà $\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}b^{3}\geq a^{2}b$

làm tương tự và cộng vào

[ILOVECR7]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

BĐT$$\Leftrightarrow \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}\geq 0$$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\geq 3$ (*)

VT(*)$\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3$

suy ra đpcm