Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} p| 2^{q-1}-1\\q|2^{p-1}-1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} p| 2^{q-1}-1\\q|2^{p-1}-1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} p| 2^{q-1}-1\\q|2^{p-1}-1 \end{matrix}\right.$
Ta có 2 NX quen thuộc :
$NX1$ : Nếu số nguyên tố $p|2^{2^{n}}+1$ với $n>3$ thì $p-1 \vdots 2^{n+2}$
$NX2$ : $2^{2^{n}}+1\neq p^{k}$ với mọi $n>3$ có nghĩa là số này luôn có ít nhất 2 ước nguyên tố phân biệt.
Chọn $ p|2^{2^{n}}+1;q|2^{2^{n+1}}+1 $ suy ra $p-1\vdots 2^{n+2}$ và $q-1\vdots 2^{n+3}$
Khi đó ta có :
$2^{q-1}-1\vdots 2^{2^{n+3}}-1\vdots 2^{2^{n+1}}-1\vdots 2^{2^{n}}+1\vdots p$
$2^{p-1}-1\vdots 2^{2^{n+2}}-1\vdots 2^{2^{n+1}}+1\vdots q$
Vậy chọn $p,q$ như trên là ta có đpcm.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh