Chủ đề này có 7 trả lời

[zipienie]

Tính tổng của chuỗi  $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{(4n)!}$$

 

Mọi người thử làm theo nhiều cách khác nhau

[Mrnhan]

Tính tổng của chuỗi  $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{(4n)!}$$

 

Mọi người thử làm theo nhiều cách khác nhau

 

LG.

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}S_0(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{(4n)!}\\S_1(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}\\S_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}\\S_3(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \end{matrix} \right.\Rightarrow S_0(x)+S_1(x)+S_2(x)+S_3(x)=e^x$

 

Đặt $y=S_3(x), \, y(0)=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y'=S_{2}(x), \, y'(0)=0 \\y''=S_1(x),\, y''(0)=0 \\y'''=S_0(x) \end{matrix} \right.$

 

Nên ta có phương trình vi phân $y'''+y''+y'+y=e^x\Rightarrow y=c_1\cos x+c_2\sin x+c_3e^{-x}+\frac{e^x}{4}$

 

Từ các điều kiện tại $x=0$ ta có ngay $y=\frac{e^x-e^{-x}}{4}-\frac{\sin x}{2}$

 

Vậy $S_0(x)=y'''=\frac{e^x+e^{-x}}{4}+\frac{\cos x}{2}=\frac{\cosh x+\cos x}{2}$

 

Dựa vào hướng làm, có thể làm những bài tương tự hoặc tính các $S_1(x), S_2(x)$

[zipienie]

Đáp án (theo bản tiếng Nga) thì ta đi giải phương trình vi phân $$S^{(4)}-S=0$$

Các hằng số của nghiệm $S$ được xác định bằng cách đạo hàm theo các cấp $1,2,3$.

Nghiệm $S$ chính là tổng cần tìm của chuỗi !

[Mrnhan]

Đáp án (theo bản tiếng Nga) thì ta đi giải phương trình vi phân $$S^{(4)}-S=0$$

Các hằng số của nghiệm $S$ được xác định bằng cách đạo hàm theo các cấp $1,2,3$.

Nghiệm $S$ chính là tổng cần tìm của chuỗi !

 

Bài toán có nhiều cách giải, có lẹ cách của đáp án nhìn ngọn hơn

Thử xem có cách khác nữa ko?

[HeilHitler]

Tính tổng của chuỗi  $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{(4n)!}$$

 

Mọi người thử làm theo nhiều cách khác nhau

Ta có:

$e^{xy}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(xy)^n}{n!}$

Do $u_0=i$ là một nghiệm phức khác $1$ của phương trình $x^4=1$ nên theo định lý URF ta có:

$\frac{e^{x}+e^{ix}+e^{-x}+e^{-ix}}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{4n!}$

$\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{4n!}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{4}+\frac{cosx}{2}$.
Nhiều khi mấy định lý của phổ thông vẫn luôn đủ mạnh để "trị" các bài toán chuỗi đại học. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 24-06-2014 - 18:32

[zipienie]

Định lý URF như tại http://diendantoanho...floor-binomn3k/ đúng không bạn ?

[HeilHitler]

Định lý URF như tại http://diendantoanho...floor-binomn3k/ đúng không bạn ?

Đúng rồi bạn ạ, định lý này khá cổ điển dùng để tính tổng các hệ số của đa thức cách đều nhau $k$ mà. Trong trường hợp này là cách đều $4$.

[zipienie]

Đúng rồi bạn ạ, định lý này khá cổ điển dùng để tính tổng các hệ số của đa thức cách đều nhau $k$ mà. Trong trường hợp này là cách đều $4$.

Bạn có thể cho mình và mọi người biết một số ví dụ khác hoặc tài liệu liên quan đến định lý URF này không ?

 

Mình thấy định lý này rất mạnh đấy !