Chủ đề này có 2 trả lời

[Cao thu]

1) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh:
$-4\leq a^2b+b^2c+4c^2a-5abc\leq 128$
2)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^9+y^9=2$. Chứng minh:
$x^3+y^3\geq 2xy$
3) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=-1$ hoặc $a+b+c=-abc$. Chứng minh:
$\frac{1}{2}\geq \frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\geq \frac{-1}{2}$

4)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$x^{3}+y^3+z^3\geq x\sqrt{y+z}+y\sqrt{z+x}+z\sqrt{x+y}$

5)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $ x+y+z=xyz$. Chứng minh:

$xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}$

6)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Tìm GTLN:

$(x-1)(y-1)(z-1)$

7)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq xyz$. Chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq xyz$

8)Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{abc}$. Chứng minh:

$ab+bc+ca\geq 9(a+b+c)$

9)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq xyz$. Chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq \sqrt{3}xyz$

10)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Chứng minh:

$x^3+y^3+z^3+6xyz\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 18-06-2014 - 20:32

[hoctrocuanewton]

 

4)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$x^{3}+y^3+z^3\geq x\sqrt{y+z}+y\sqrt{z+x}+z\sqrt{x+y}$

 

8)Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{abc}$. Chứng minh:

$ab+bc+ca\geq 9(a+b+c)$

 

Câu 4 :

Áp dụng BĐT : $a^{3}+b^{3}\geqslant ab(a+b)$ .

Ta có : $2a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant a^{3}+bc(b+c)\geqslant 2\sqrt{2a^{3}bc(b+c)}=4a\sqrt{b+c}$

Chứng minh tương tự ta có :

$4\sum a^{3}\geqslant 4\sum a\sqrt{b+c}\Rightarrow \sum a^{3}\geqslant \sum a\sqrt{b+c}$

Vậy ta đpcm

 

Câu 8:

ta có :

$\sum ab+9\sum a= \sum (ab+9c)\geqslant 18\sqrt{abc}(1)$

Mà ta lại có : a+b+c=abc nên từ (1) suy ra:

$\sum ab\geqslant 9(a+b+c)$

Vậy ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 18-06-2014 - 21:12

[megamewtwo]

9) 

ta có $\left ( x+y+z \right )^{3}\geq 27xyz$

$\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )^{3}\left ( x+y+z \right )\geq 27xyzxyz\Rightarrow \left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\sqrt{3}xyz$

mà $3\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\sqrt{3}xyz\Rightarrow$ DPCM .....