Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : 

 

      $\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq max\left \{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2 \right.\left. \right \}$

 

 

[Juliel]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : 

 

      $\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq max\left \{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2 \right.\left. \right \}$

Ta chỉ cần chứng minh rằng :

$$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\leq \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^2+\left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^2+\left ( \sqrt{c}-\sqrt{a} \right )^2\Leftrightarrow a+b+c+3\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$$

Điều này đúng theo BĐT Schur và AM-GM :

$$a+b+c+3\sqrt[3]{abc}\geq \sqrt[3]{ab}\left ( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \right )+\sqrt[3]{bc}\left ( \sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \right )+\sqrt[3]{ca}\left ( \sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{a} \right )\geq \sqrt[3]{ab}.2\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{bc}.2\sqrt[6]{bc}+\sqrt[3]{ca}.2\sqrt[6]{ca}=2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )$$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : 

 

      $$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq max\left \{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2 \right.\left. \right \}$$

Hãy tìm hằng số $k$ tốt nhất của bất đẳng thức

\[\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq k\cdot\max\left \{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,\,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,\,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\right\},\]

với $a,\,b,\,c$ là các số thực không âm.