Chủ đề này có 1 trả lời

[Ruffer]

$x^2+y^2=1$ tìm max P=$\frac{x}{y+{\sqrt{2}}}$

[Nguyentiendung9372]

$x^2+y^2=1$ tìm max P=$\frac{x}{y+{\sqrt{2}}}$

Đặt $\frac{x}{{y + \sqrt 2 }} = t$

Ta có $x = ty + \sqrt 2 t$

Thay $x = ty + \sqrt 2 t$ vào ${x^2} + {y^2} = 1$, ta có

${(ty + \sqrt 2 t)^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {t^2}{y^2} + 2\sqrt 2 {t^2}y + 2{t^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow ({t^2} + 1){y^2} + 2\sqrt 2 {t^2}y + 2{t^2} - 1 = 0$

Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn $y$

Ta có $\Delta ' = {(\sqrt 2 {t^2})^2} - ({t^2} + 1).(2{t^2} - 1) = 2{t^4} - 2{t^4} - {t^2} + 1 = 1 - {t^2}$

Do phương trình có nghiệm nên $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le t \le 1$

Suy ra max P=1