Chủ đề này có 17 trả lời

[HoangHungChelski]

                      ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG
                                         NĂM HỌC 2014-2015
                                         THỜI GIAN: 150 PHÚT

Câu 1 (2 điểm):
1, Cho số thực $x$ thỏa mãn $\sqrt{x^2-6x+36}+\sqrt{x^2-6x+64}=18$
 Tính giá trị của biểu thức: $A=\sqrt{4x^2-24x+256}-2\sqrt{x^2-6x+36}$

2, Tính giá trị biểu thức: $B=6x^3+3x^2=2014$ với $x=\frac{1}{\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$.

Câu 2 (2 điểm):
1, Giải phương trình: $x^2-20x+24+8\sqrt{3(x-1)}=0$

2, Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y}=\frac{13}{2} & \\ \sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}=\frac{11}{2} & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2 điểm):
1, Tìm các số nguyên tố $n$ thỏa mãn: 
  $100\leq n\leq 502$ và $n=a^3-b^3$ với $a;b$ là số tự nhiên.

2, Tìm tất cả các số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn: $a\sqrt[4]{4}+b\sqrt[4]{2}+c=0$

Câu 4 (3 điểm):
Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$. Gọi $M,N$ là hai điểm thay đổi trên đường thẳng $d$ sao cho $A$ nằm giữa $M$ và $N$; $AM.AN$ không đổi. $BM,BN$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $D,E$.
      1, CMR: Tứ giác $DENM$ nội tiếp.
      2, CMR: $DE$ luôn đi qua điểm cố định khi $M,N$ thay đổi.
      3, Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $DENM$. CMR $K$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5 (1 điểm):
Gọi $x,y$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn điều kiện: $x>y>0$ và $xy=4$. 
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^2+y^2}{x-y+1}$

                                                                                -------- Hết -------- 

P/s: Đề trâu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 20-06-2014 - 12:01

[lahantaithe99]

Bài 1:

1.

 

Ta cố 

 

$(\sqrt{x^2-6x+36}+\sqrt{x^2-6x+64})(\sqrt{x^2-6x+64}-\sqrt{x^2-6x+36})=28$

 

$\Rightarrow B=\sqrt{x^2-6x+64}-\sqrt{x^2-6x+36}=\frac{14}{9}$

 

Mà $A=2B\Rightarrow A=\frac{28}{9}$

 

 2

 

$x^3=\frac{1}{6+3(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})}=\frac{1}{6+\frac{1}{x}}$

 

$\Rightarrow x^2=\frac{1}{6x+3}\Rightarrow 6x^3+3x^2=1$

 

$\Rightarrow B=1+2014=2015$

 

Câu 2:

1.

 

$Pt\Leftrightarrow (x-4)^2-(\sqrt{12(x-1)}-2)^2=0$

 

$(x-\sqrt{12x-12}-2)(x+\sqrt{12x-12}+2)=0$

 

Đến đây xét từng TH bình phương lên tìm nghiệm

 

2.

 

Xét $Pt(1)$ và áp dụng BĐT Mincopxki

 

$\frac{13}{2}=\sqrt{(x-2)+3}+\sqrt{(y-3)+3}\geqslant \sqrt{(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3})^2+(2\sqrt{3})^2}=\frac{13}{2}$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $\sqrt{x-2}=\sqrt{y-3}$ (chỗ này có đúng dấu $=$ không nhỉ?)

 

Thế vào PT $(2)$ là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 20-06-2014 - 13:02

[DANH0612]

                      ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG
                                         NĂM HỌC 2014-2015
                                         THỜI GIAN: 150 PHÚT


Câu 5 (1 điểm):
Gọi $x,y$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn điều kiện: $x>y>0$ và $xy=4$. 
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^2+y^2}{x-y+1}$

                                                                                -------- Hết -------- 

P/s: Đề trâu!

ta có $x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+8$ , đặt t=x-y >0

nên $P=\frac{t^{2}+8}{t+1}>0\Rightarrow t^{2}-Pt+8-P=0$

để pt có nghiệm $P^{2}-4(8-P)\geq 0\Leftrightarrow P^{2}+4P-4.8\geq 0\Rightarrow P\geq 4$  

vậy minP=4 khi $\left\{\begin{matrix} xy=4\\ x-y=2\end{matrix}\right.$  $\left\{\begin{matrix} x=1+\sqrt{5}\\ y=\sqrt{5}-1\end{matrix}\right.$

[HoangHungChelski]

ta có $x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+8$ , đặt t=x-y >0

nên $P=\frac{t^{2}+8}{t+1}>0\Rightarrow t^{2}-Pt+8-P=0$

để pt có nghiệm $P^{2}-4(8-P)\geq 0\Leftrightarrow P^{2}+4P-4.8\geq 0\Rightarrow P\geq 4$  

vậy minP=4 khi $\left\{\begin{matrix} xy=4\\ x-y=2\end{matrix}\right.$  $\left\{\begin{matrix} x=1+\sqrt{5}\\ y=\sqrt{5}-1\end{matrix}\right.$

Câu 5 còn cách khác rất ngắn gọn
Ta phải CM: $\frac{x^2+y^2}{x-y+1}\geq 4\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy-4(x-y)+4\geq 0\Leftrightarrow (x-y-2)^2\geq 0(True)$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow (x,y)=(\sqrt{5}+1;\sqrt{5}-1)$
Vậy $minP=4$ khi $(x,y)=(\sqrt{5}+1;\sqrt{5}-1)$ $\blacksquare$

[Ngoc Hung]

Câu 3 (2 điểm):
1, Tìm các số nguyên tố $n$ thỏa mãn: 
  $100\leq n\leq 502$ và $n=a^3-b^3$ với $a;b$ là số tự nhiên.

Ta có $n=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$. Xét a = b = 0 (loại). Xét a, b khác 0. Vì n là số nguyên tố nên a - b = 1 hay b = a - 1

Từ đó ta có $n=a^{2}+a(a-1)+(a-1)^{2}=3a^{2}-3a+1$

Từ giả thiết ta suy ra $100\leq 3a^{2}-3a+1\leq 502\Rightarrow -12\leq a\leq -5;6\leq a\leq 13$

Vì a là số tự nhiên nên a = 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13

Từ đó ta có giá trị tương ứng b = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Thử lại ta có kết quả cần tìm 

[Ngoc Hung]

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút

 

 

Bài 1:   1) Giải phương trình $\sqrt{13-x}=x-1$

            2) Rút gọn biểu thức $A=\frac{10\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}-4}-\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+4}+\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}$ với $x\geq 0;x\neq 1$

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m – 1)x + m + 4 (tham số m)

a) Với m = 2, tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Bài 3:   1) Cho hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y=3m+2 & \\ 3x-2y=11-m & \end{matrix}\right.$ (tham số m)

 Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thoả mãn: x² – y² đạt giá trị lớn nhất

             2) Một ôtô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ôtô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ôtô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12km/h. Biết rằng ôtô đến B đúng thời gian dự định. Tính vận tốc dự định của ôtô

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AM; BN; CP của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng hình bình hành BHCD.

a) Chứng minh: Tứ giác APHN và ABDC nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của AD và BN. Chứng minh: AB.AH = AE.AC

c) Giả sử các điểm B và C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và góc BAC không đổi. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi

Bài 5: Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tính GTNN của $P=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$

[Katyusha]

Câu 5.

 

Sử dụng đánh giá $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge \dfrac{4}{a+b}$ với mọi $a,b>0$ ta có 

 

$P=(x+y)^2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy} \right)+\dfrac{(x+y)^2}{2xy}\ge \dfrac{4(x+y)^2}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{4xy}{2xy}=\dfrac{4(x+y)^2}{(x+y)^2}+2=4+2=6$

 

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y$.

[Kool LL]

Câu 3 (2 điểm):
2, Tìm tất cả các số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn: $a\sqrt[4]{4}+b\sqrt[4]{2}+c=0$

Trước tiên ta CM $\sqrt[4]{2}\notin\mathbb{Q}$.

Thật vậy G/s $\sqrt[4]{2}=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}$ tối giản với $m,n\in\mathbb{Z}\ ;\ (m,n)=1\Rightarrow m^4=2.n^4\ \vdots\ 2$

$\Rightarrow m=2.m_1\Rightarrow n^4=2^3.m_1^4\ \vdots\ 2 \Rightarrow m,n\ \vdots\ 2$. Mâu thuẫn với $(m,n)=1$.

Do đó $\sqrt[4]{2}\notin\mathbb{Q}$.

 

Nếu $a\ne0\Rightarrow \sqrt[4]{2}^2+p.\sqrt[4]{2}+q=0$ với $p=\frac{b}{a}\ ;\ q=\frac{c}{a}\ ;\ p,q\in\mathbb{Q}$

$\Rightarrow \sqrt[4]{2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ với $p^2-4q\ge0$

$\Rightarrow 2^5=(-p\pm\sqrt{p^2-4q})^4=(p^2-4q\pm p\sqrt{p^2-4q})^2$$=2^2\left[(p^2-2q)^2+p^2(p^2-4q)\pm2p(p^2-2q)\sqrt{p^2-4q}\right]$

$\Rightarrow \sqrt{p^2-4q}=k\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt[4]{2}=\frac{-p\pm k}{2}\in\mathbb{Q}$ (Vô lý !)

Vậy $a=0\Rightarrow b=c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 20-06-2014 - 17:15

[canhhoang30011999]

                      ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG
                                         NĂM HỌC 2014-2015
                                         THỜI GIAN: 150 PHÚT

Câu 1 (2 điểm):
1, Cho số thực $x$ thỏa mãn $\sqrt{x^2-6x+36}+\sqrt{x^2-6x+64}=18$
 Tính giá trị của biểu thức: $A=\sqrt{4x^2-24x+256}-2\sqrt{x^2-6x+36}$

2, Tính giá trị biểu thức: $B=6x^3+3x^2=2014$ với $x=\frac{1}{\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$.

Câu 2 (2 điểm):
1, Giải phương trình: $x^2-20x+24+8\sqrt{3(x-1)}=0$

2, Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y}=\frac{13}{2} & \\ \sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}=\frac{11}{2} & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2 điểm):
1, Tìm các số nguyên tố $n$ thỏa mãn: 
  $100\leq n\leq 502$ và $n=a^3-b^3$ với $a;b$ là số tự nhiên.

2, Tìm tất cả các số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn: $a\sqrt[4]{4}+b\sqrt[4]{2}+c=0$

Câu 4 (3 điểm):
Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$. Gọi $M,N$ là hai điểm thay đổi trên đường thẳng $d$ sao cho $A$ nằm giữa $M$ và $N$; $AM.AN$ không đổi. $BM,BN$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $D,E$.
      1, CMR: Tứ giác $DENM$ nội tiếp.
      2, CMR: $DE$ luôn đi qua điểm cố định khi $M,N$ thay đổi.
      3, Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $DENM$. CMR $K$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5 (1 điểm):
Gọi $x,y$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn điều kiện: $x>y>0$ và $xy=4$. 
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^2+y^2}{x-y+1}$

                                                                                -------- Hết -------- 

P/s: Đề trâu!

2.1

cách 2 

đặt $\sqrt{3x-3}=\frac{t}{2}-1$

ta có hệ pt $\left\{\begin{matrix} &( \frac{t}{2}-1)^{2}=3x-3 &(1) \\ & x^{2}-20x+24+8(\frac{t}{2}-1)=0 &(2) \end{matrix}\right.$

nhân 4 pt (1) rồi trừ vế vế ta có

$(x-t)(x+t-4)= 0$

đến đây dễ rồi

[hiensau999]

CIII.2 Có vẻ hơi linh tinh

 

3. Dự đoán: Thuộc đường thẳng // MN cách MN 1 khoảng ko đổi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hiensau999: 20-06-2014 - 17:36

[khanghaxuan]

Ta có $n=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$. Xét a = b = 0 (loại). Xét a, b khác 0. Vì n là số nguyên tố nên a - b = 1 hay b = a - 1

Từ đó ta có $n=a^{2}+a(a-1)+(a-1)^{2}=3a^{2}-3a+1$

Từ giả thiết ta suy ra $100\leq 3a^{2}-3a+1\leq 502\Rightarrow -12\leq a\leq -5;6\leq a\leq 13$

Vì a là số tự nhiên nên a = 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13

Từ đó ta có giá trị tương ứng b = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Thử lại ta có kết quả cần tìm 

Tại sao vậy  bạn ,$a^{2}+ab+b^{2}=1$cũng được mà !

[tuananh2000]

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút

 

 

Bài 1:   1) Giải phương trình $\sqrt{13-x}=x-1$

            2) Rút gọn biểu thức $A=\frac{10\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}-4}-\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+4}+\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}$ với $x\geq 0;x\neq 1$

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m – 1)x + m + 4 (tham số m)

a) Với m = 2, tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Bài 3:   1) Cho hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y=3m+2 & \\ 3x-2y=11-m & \end{matrix}\right.$ (tham số m)

 Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thoả mãn: x² – y² đạt giá trị lớn nhất

             2) Một ôtô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ôtô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ôtô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12km/h. Biết rằng ôtô đến B đúng thời gian dự định. Tính vận tốc dự định của ôtô

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AM; BN; CP của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng hình bình hành BHCD.

a) Chứng minh: Tứ giác APHN và ABDC nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của AD và BN. Chứng minh: AB.AH = AE.AC

c) Giả sử các điểm B và C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và góc BAC không đổi. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi

Bài 5: Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tính GTNN của $P=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$

 

Bài 3 : 2)Gọi vận tốc dự định của ô tô là $x$ $(x>0)$ thì thời gian ô tô đi nửa quãng đường đầu là $\frac{40}{x-6}$, thời gian ô tô đi nửa quãng đường sau là $\frac{40}{x+12}$. Do ô tô đến $B$ đúng theo thời gian dự định nên ta có pt $\frac{40}{x-6}+\frac{40}{x+12}=\frac{80}{x} \Rightarrow$ $x=24$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuananh2000: 20-06-2014 - 21:00

[lyn9999]

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút

 

 

Bài 3:   1) Cho hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y=3m+2 & \\ 3x-2y=11-m & \end{matrix}\right.$ (tham số m)

 Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thoả mãn: x² – y² đạt giá trị lớn nhất

        

 

Từ hệ đã cho =>$\left\{\begin{matrix} x= 3m+2-y & (1) \\ 3x-2y = 11-m& (2) \end{matrix}\right.$
thế (1) vào (2) => $y= 2m-1$ => $x=m+3$
Ta có: $x^{2}-y^{2}=-3m^{2}+10m+8$
 tới đây thì dễ r

[lyn9999]

Câu 5 còn cách khác rất ngắn gọn
Ta phải CM: $\frac{x^2+y^2}{x-y+1}\geq 4\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy-4(x-y)+4\geq 0\Leftrightarrow (x-y-2)^2\geq 0(True)$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow (x,y)=(\sqrt{5}+1;\sqrt{5}-1)$
Vậy $minP=4$ khi $(x,y)=(\sqrt{5}+1;\sqrt{5}-1)$ $\blacksquare$

nhưng mà làm thế k đc tự nhiên cho lắm, phải biết trc kết quả
mình cx đặt giống bạn kia nhưng k dùng phương pháp miền giá trị. dùng cô si cho nhanh
 

$P=\frac{t^{2}-1 +9}{t+1}=(t+1 +\frac{9}{t+1})-2\geq 6-2 =4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lyn9999: 21-06-2014 - 14:49

[hydanggia28]

Ta có $n=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$. Xét a = b = 0 (loại). Xét a, b khác 0. Vì n là số nguyên tố nên a - b = 1 hay b = a - 1

Từ đó ta có $n=a^{2}+a(a-1)+(a-1)^{2}=3a^{2}-3a+1$

Từ giả thiết ta suy ra $100\leq 3a^{2}-3a+1\leq 502\Rightarrow -12\leq a\leq -5;6\leq a\leq 13$

Vì a là số tự nhiên nên a = 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13

Từ đó ta có giá trị tương ứng b = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Thử lại ta có kết quả cần tìm 

Bạn quên xét a^2+b^2+ab=1 rồi

[pdtienArsFC]

Nhờ các bạn làm câu c bài hình đề thi chuyên cái, khó quá

[aaaaaaaa sssss]

KLQ. ai giải giùm em bài này

Tìm n=  \overline{abc} sao cho  \frac{n}{a+b+c} đạt giá trị nhỏ nhất

[Aiko]

AI CÓ DE THI DU BI MAY NAM LIEN CUA NGUYEN TRAI K