Cho a,b,c>0 và $abc+a+c=b$
Tìm MAX:
$\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$
Cho a,b,c>0 và $abc+a+c=b$
Tìm MAX:
$\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$
1 cách Thuần đại số? Có Cách nào không?
1 cách Thuần đại số? Có Cách nào không?
Solution: (Lời giải này chỉ sử dụng $AM-GM$)
Thay $c=\frac{b-a}{ab+1}>0$ vào ta thu được
$$P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3\left ( 1+ab \right )^{2}}{\left ( 1+ab \right )^{2}+\left ( b-a \right )^{2}}$$
$$=\frac{2\left ( b^{2}-a^{2} \right )}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}+3-\frac{3\left ( b-a \right )^{2}}{\left ( 1+ab \right )^{2}+\left ( b-a \right )^{2}}=\frac{2\left ( b^{2}-a^{2} \right )-3\left ( b-a \right )^{2}}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}+3$$
(Do $(ab+1)^{2} + (b-a)^{2}=(1+a^{2})(1+b^{2}))$
$$=\frac{\left ( b-a \right )\left ( 5a-b \right )}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}+3=\frac{\left ( 3b-3a \right )\left ( 5a-b \right )}{3\left ( 1+a^{2} \right )\left ( b^{2}+1 \right )}+3\leq \frac{\left ( \dfrac{3b-3a+5a-b}{2} \right )^{2}}{3\left ( a+b \right )^{2}}+3=\frac{10}{3}$$
(Q.E.D)
Bạn tự giải hệ dấu = nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 24-06-2014 - 20:08
1 cách Thuần đại số? Có Cách nào không?
Cách này bạn coi xem có được ko?
$gt\Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}$ thay vào P ta có được:
$P=\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{3}{z^{2}+1}-\frac{2\left ( 1-xz \right )^{2}}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( z^{2}+1 \right )}$
$=2+\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}z^{2}+x^{2}+z^{2}+1}$
Mạt khác, ta chỉ ra được:
$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$
$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$
$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$
-----------------------------------------
Chọn ra con số $\frac{4}{3}$
Giả sử ta có
$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq t$
$\Leftrightarrow x^{2}\left ( t-1 \right )+tz^{2}+x^{2}z^{2}\left ( t+4 \right )-4xz+\left ( t-1 \right )\geq 0$
Để có max thì ta phải biến đổi được bất đẳng thức trên về dạng $A^{2}+B^{2}\geq 0$ ... tức là có phép biến đổi sau:
$\Leftrightarrow \left [ x\sqrt{t-1}-z\sqrt{t} \right ]^{2}+\left [ xz\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1} \right ]^{2}\geq 0$
Như vậy, đồng nhất hệ số thì ta cần chọn $t$ sao cho $\sqrt{t\left ( t-1 \right )}+\sqrt{\left ( t-1 \right )\left ( t+4 \right )}=2$
Đến đây thì ra oy` nhá, $t=\frac{4}{3}$ , thế là có max oy`.$\square$
Đặt $a=tan\alpha ;c=tan\beta ;b=\frac{a+c}{1-ac}=tan(\alpha +\beta )$
Do a,b,c>0 nên: $\alpha ,\beta >0 ,\alpha +\beta < \frac{\pi }{2}$
Ta có: $P=-3[sin\beta -\frac{1}{3}sin(2\alpha +\beta )]^2-\frac{1}{3}cos^2(\alpha +\beta )+\frac{10}{3}\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra: $sin\beta =\frac{1}{3},2\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$
Khi đó: $a=\frac{\sqrt{2}}{2}; b=\sqrt{2}; c=\frac{\sqrt{2}}{4}$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh