Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
kobietlamtoan

kobietlamtoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết

Cho a,b,c>0 và   $abc+a+c=b$

 

Tìm MAX:  

 

 

 $\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$


Nghiêm Văn Chiến 97

#2
NMDuc98

NMDuc98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Cho a,b,c>0 và   $abc+a+c=b$

 

Tìm MAX:  

 

 

 $\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$

Tham khảo:

bbb.png


Nguyễn Minh Đức

Lặng Lẽ

THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


#3
kobietlamtoan

kobietlamtoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết

1 cách Thuần đại số? Có Cách nào không?


Nghiêm Văn Chiến 97

#4
tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

1 cách Thuần đại số? Có Cách nào không?

Solution: (Lời giải này chỉ sử dụng $AM-GM$)
Thay $c=\frac{b-a}{ab+1}>0$ vào ta thu được
$$P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3\left ( 1+ab \right )^{2}}{\left ( 1+ab \right )^{2}+\left ( b-a \right )^{2}}$$
$$=\frac{2\left ( b^{2}-a^{2} \right )}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}+3-\frac{3\left ( b-a \right )^{2}}{\left ( 1+ab \right )^{2}+\left ( b-a \right )^{2}}=\frac{2\left ( b^{2}-a^{2} \right )-3\left ( b-a \right )^{2}}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}+3$$
(Do $(ab+1)^{2} + (b-a)^{2}=(1+a^{2})(1+b^{2}))$
$$=\frac{\left ( b-a \right )\left ( 5a-b \right )}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}+3=\frac{\left ( 3b-3a \right )\left ( 5a-b \right )}{3\left ( 1+a^{2} \right )\left ( b^{2}+1 \right )}+3\leq \frac{\left ( \dfrac{3b-3a+5a-b}{2} \right )^{2}}{3\left ( a+b \right )^{2}}+3=\frac{10}{3}$$
(Q.E.D)

Bạn tự giải hệ dấu = nhé
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 24-06-2014 - 20:08


#5
tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

1 cách Thuần đại số? Có Cách nào không?

Cách này bạn coi xem có được ko?

 

$gt\Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}$   thay vào P ta có được:

 

$P=\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{3}{z^{2}+1}-\frac{2\left ( 1-xz \right )^{2}}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( z^{2}+1 \right )}$

 

$=2+\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}z^{2}+x^{2}+z^{2}+1}$

 

Mạt khác, ta chỉ ra được:

 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$

 

 

$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$

 

 

 

-----------------------------------------

 

Chọn ra con số $\frac{4}{3}$ 

 

 

Giả sử ta có 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq t$

 

$\Leftrightarrow x^{2}\left ( t-1 \right )+tz^{2}+x^{2}z^{2}\left ( t+4 \right )-4xz+\left ( t-1 \right )\geq 0$

 

Để có max thì ta phải biến đổi được bất đẳng thức trên về dạng $A^{2}+B^{2}\geq 0$ ... tức là có phép biến đổi sau:

 

$\Leftrightarrow \left [ x\sqrt{t-1}-z\sqrt{t} \right ]^{2}+\left [ xz\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1} \right ]^{2}\geq 0$

 

 

Như vậy, đồng nhất hệ số thì ta cần chọn $t$ sao cho $\sqrt{t\left ( t-1 \right )}+\sqrt{\left ( t-1 \right )\left ( t+4 \right )}=2$ 

 

Đến đây thì ra oy` nhá, $t=\frac{4}{3}$ , thế là có max oy`.$\square$




#6
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Đặt $a=tan\alpha ;c=tan\beta ;b=\frac{a+c}{1-ac}=tan(\alpha +\beta )$

Do a,b,c>0 nên: $\alpha ,\beta >0 ,\alpha +\beta < \frac{\pi }{2}$

Ta có: $P=-3[sin\beta -\frac{1}{3}sin(2\alpha +\beta )]^2-\frac{1}{3}cos^2(\alpha +\beta )+\frac{10}{3}\leq \frac{10}{3}$

Đẳng thức xảy ra: $sin\beta =\frac{1}{3},2\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$

Khi đó: $a=\frac{\sqrt{2}}{2}; b=\sqrt{2}; c=\frac{\sqrt{2}}{4}$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh