Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngô Văn Trung]

cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm H của AC. Góc giữa 2 mp (BCC'B') và (ABC) bằng 60 độ. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa AA' và BC theo a

[maitram]

cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm H của AC. Góc giữa 2 mp (BCC'B') và (ABC) bằng 60 độ. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa AA' và BC theo a

*Tính thể tích

Dựng hình chữ nhật $A'B'H'H$ như hình vẽ

$\Rightarrow B'H'\perp (ABCD)$

Trong $\Delta ABC$ dựng đường cao $AI$, đồng thời dựng $HK$ song song $AI$ song song $H'K'$

$\Rightarrow H'K'\perp BC$

$\Rightarrow\widehat{(BB'C'C),(ABCD)}=\widehat{B'K'H'}=60^{\circ}$

Dùng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ $\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Dễ dàng chứng minh được $KH=K'H'$

$\Rightarrow K'H'=KH=\frac{1}{2}AI=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$A'H=B'H'=K'H'.tan60^{\circ}=\frac{3a}{4}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'}=\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{4}$

 

*Tính $d(AA',BC)$

$AA'$ song song $(BB'C'C)$ $\Rightarrow d(AA',BC)=d(A,BB'C'C)$

Ta có:

$V_{ABC.A'B'C'}=V_{A.BB'C'C}+V_{A.A'B'C'}$

Dễ dàng tính được $V_{A.A'B'C'}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

$\Rightarrow V_{A.BB'C'C}=\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{8}$

Dễ dàng chứng minh được $B'K'\perp BC$

$\Rightarrow S_{BB'C'C}=a^{2}\sqrt{3}$ với $B'K'=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow d(AA',BC)=d(A,BB'C'C)=\frac{3V_{A.BB'C'C}}{S_{BB'C'C}}=\frac{15a}{8}$