Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tretho97

tretho97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Đã gửi 22-06-2014 - 13:43

xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.

chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tretho97: 22-06-2014 - 13:44


#2 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 01-10-2017 - 01:04

$x = cos a \implies P_n(x) = cos (3^n.a) $ . Xét phương trình $cos(3^nx) = cos x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 01-10-2017 - 22:25


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1919 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-10-2017 - 11:05

xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.

chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$

 

$x = sin a \implies P_n(x) = sin (3^n.a) $ . Xét phương trình $sin(3^nx) = sin x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$ 

Có 2 vấn đề cần làm rõ :

1) Dựa vào đâu để khẳng định $\left | x \right |\leqslant 1$, từ đó đặt $x=\sin a$ ?

2) Nói phương trình $\sin(3^nx)=\sin x$ có $3^n$ nghiệm, liệu có chuẩn không ?

 

Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :

Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$

  + Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$

  + Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$

     Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$

  + Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$

Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$

Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$

 

Khi $n=1$, (*) trở thành $\cos(3t)=\cos t$

Khi $n=2$, (*) trở thành $\cos(9t)=\cos t$

...........................................

Trường hợp tổng quát, (*) trở thành $\cos(3^nt)=\cos t$ (**)

(**) có VÔ SỐ NGHIỆM. Đó là các nghiệm dạng $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}$ (1) hoặc $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}$ (2) ($k\in\mathbb{Z}$)

Nhận xét rằng số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn phương trình (**)

Ta gọi $S_1,S_2$ lần lượt là tập hợp các giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (1), (2).

$S_1=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+3}{2}$ giá trị phân biệt)

$S_2=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+1}{2}$ giá trị phân biệt)

Chú ý rằng $\frac{3^n+1}{2}$ và $\frac{3^n-1}{2}$ là 2 số nguyên tố cùng nhau nên $S_1$ và $S_2$ chỉ có $2$ phần tử chung là

$\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right )=\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right )=1$

và $\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ]=\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ]=-1$

Vậy số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (**) và bằng :

$|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|=\frac{3^n+3}{2}+\frac{3^n+1}{2}-2=3^n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-10-2017 - 15:37

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 01-10-2017 - 17:51

Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :

Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$

  + Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$

  + Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$

     Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$

  + Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$

Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$

Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$

Thực ra chỉ cần chỉ ra $3^n$ nghiệm phân biệt của $P_n(x)$ vì rõ ràng $degP_n(x)=3^n$



#5 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 01-10-2017 - 22:22

không phải đặt $x = cos a$ , mà là thay $x $ bởi $cos a$ ạ , và mình chỉ ra được phương trình đó có $3^n$ nghiệm 

tức là chỉ ra luôn $P_n(cos a) = cos _a$ có $3^n$ nghiệm , thế thì tất nhiên $P_n(x) = x$ có ít nhất $3^n$ nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 01-10-2017 - 22:25


#6 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2017 - 20:22

Có 2 vấn đề cần làm rõ :

1) Dựa vào đâu để khẳng định $\left | x \right |\leqslant 1$, từ đó đặt $x=\sin a$ ?

2) Nói phương trình $\sin(3^nx)=\sin x$ có $3^n$ nghiệm, liệu có chuẩn không ?

 

Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :

Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$

  + Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$

  + Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$

     Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$

  + Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$

Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$

Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$

 

Khi $n=1$, (*) trở thành $\cos(3t)=\cos t$

Khi $n=2$, (*) trở thành $\cos(9t)=\cos t$

...........................................

Trường hợp tổng quát, (*) trở thành $\cos(3^nt)=\cos t$ (**)

(**) có VÔ SỐ NGHIỆM. Đó là các nghiệm dạng $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}$ (1) hoặc $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}$ (2) ($k\in\mathbb{Z}$)

Nhận xét rằng số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn phương trình (**)

Ta gọi $S_1,S_2$ lần lượt là tập hợp các giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (1), (2).

$S_1=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+3}{2}$ giá trị phân biệt)

$S_2=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+1}{2}$ giá trị phân biệt)

Chú ý rằng $\frac{3^n+1}{2}$ và $\frac{3^n-1}{2}$ là 2 số nguyên tố cùng nhau nên $S_1$ và $S_2$ chỉ có $2$ phần tử chung là

$\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right )=\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right )=1$

và $\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ]=\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ]=-1$

Vậy số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (**) và bằng :

$|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|=\frac{3^n+3}{2}+\frac{3^n+1}{2}-2=3^n$.

Bạn làm đúng rồi, +10 điểm PSW cho bạn.

 

Còn manhtuan00, 

 

$x = cos a \implies P_n(x) = cos (3^n.a) $ . Xét phương trình $cos(3^nx) = cos x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$ 

 

 

bạn thử tự kiểm tra rằng $a = \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\pi}{3^1 +1}$ có phải là nghiệm của $\cos (3x) = \cos(x)$ không?


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh