Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng:
$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$
Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng:
$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$
Bài này dấu = xảy ra thực sự rất khó đoán
Bài này không tồn tại dấu $"="$ đâu a!
Bài này không tồn tại dấu $"="$ đâu a!
Vậy à ,thảo nào tìm mãi ko ra ,mà e đã có ý tưởng bài này chưa
Vậy à ,thảo nào tìm mãi ko ra ,mà e đã có ý tưởng bài này chưa
Em nghĩ là với $a,b,c$ dương thì biểu thức chỉ đạt MAX là 8 thôi
Em nghĩ là với $a,b,c$ dương thì biểu thức chỉ đạt MAX là 8 thôi
Thế dấu =xảy ra khi nào
Thế dấu =xảy ra khi nào
Bất đẳng thức này thực sự chặt. cho 1 biến tiến ra biên và 2 biến chập lại nhau Vd $$a=0,b=c=1,5$$ sẽ thu được giá trị sát 13
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diepviennhi: 06-07-2015 - 20:50
Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$
Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao
Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$
Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao
Cho $a=0$ là thấy bị sai rồi.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$
Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao
Đề vốn là không âm tuy vậy cũng không có dấu bằng đâu em,biểu thức vế trái chỉ rất gần 13 khi 1 biến bằng không. Bài này anh nhớ là chứng minh bằng cách đồng bậc 2 vế và tương đương. Phân tích biểu thức tương đương đấy ra tổng bình phương và 1 thành phần dương. Thực sự là bài này khá chặt.
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$
Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao
Sao lại max là 8? Thử a=0.1, b=1, c=1.9 đã được hơn 10 rồi
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
Giả sử ta đổi lại đề thành: Cho a+b+c=3. Tìm ước lượng tốt nhất P=$\prod (a+b^2)$(ở đề bài đã cho là chặn dưới 13 chưa chứng minh được)
$Đặt x=a+b^2;Đặt y=b+c^2;Đặt z=c+a^2$
Khi đó ta có x+y+z=$a^2+b^2+c^2+3$
Giả sử a$\geq b\geq c$>0
Khi đó x+y+z<22
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có P=xyz<$(\frac{22}{3})^3=\approx 394$
Vậy là ta đã hạ chặn xuống còn <$\approx$394.
Mong các bạn tiếp tục giảm ước lượng tốt hơn để bất đẳng thức đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 08-07-2015 - 14:56
Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng:$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$
Mình nghi ngờ bài này không thể giải được bằng kiến thức THCS.Dưới đây mình sẽ giải bằng trình độ THPT.
Ta giải bài toán trong 2 TH :
A- $a,b,c$ là số dương.
B- $a,b,c$ là số không âm.
$A)$ $a,b,c> 0$
Đặt vế trái bất đẳng thức là $P$.Ta tìm các cực trị của $P$ trong miền :
$\left\{\begin{matrix}a+b+c=3\\a> 0\\b> 0\\c> 0 \end{matrix}\right.$
$P'_{a}=bc+c^3+3a^2(b+c^2)+2ab^2(b+c^2)> 0$ (vì $a,b,c> 0$)
Tương tự $P'_{b}> 0$ và $P'_{c}> 0$ $\Rightarrow$ không có cực trị $\Rightarrow$ không có GTLN.
$B)$ $a,b,c\geqslant 0$
Ta chỉ cần xét các giá trị biên (khi $a=3$ và $a=0$)
$1)$ $a=3\Rightarrow b=c=0$
Khi đó $P=0$ (1)
$2)$ $a=0\Rightarrow b+c=3$
Khi đó $P=b^2c(b+c^2)=b^3(3-b)+b^2(3-b)^3$
$P'_{b}=-5b^4+32b^3-72b^2+54b$
$P'_{b}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=0\\5b^3-32b^2+72b-54=0 \end{matrix}\right.$
+ $b=0\Rightarrow P=0$ (2)
+ $5b^3-32b^2+72b-54=0\Rightarrow b^3-\frac{32}{5}b^2+\frac{72}{5}b-\frac{54}{5}=0$
Đặt $x=b-\frac{32}{15}\Rightarrow x^3+\frac{56}{75}\ x+\frac{1694}{3375}=0$ (3)
Gọi $y$ là số dương sao cho $x=\frac{56}{225y}-y$ ($y> 0$)
Thay vào (3) $\Rightarrow y^6-\frac{1694}{3375}\ y^3-\frac{175616}{3375^2}=0$
$\Rightarrow y=\frac{\sqrt[3]{1792}}{15}\Rightarrow x=\frac{56-\sqrt[3]{1792^2}}{15\sqrt[3]{1792}}$
$\Rightarrow b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ (4)
$\Rightarrow c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ (5)
Thay (4) và (5) vào $P=b^2c(b+c^2)$ ta được $P\approx 12,76495658$ (6)
So sánh (1),(2) và (6), ta có GTLN của $P$ xấp xỉ $12,76495658$
(xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ ; $c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ và các hoán vị vòng tròn)
Tóm lại :
+ Nếu $a,b,c> 0$ thì không có GTLN.
+ Nếu $a,b,c\geqslant 0$ thì GTLN của $P$ là xấp xỉ $12,76495658$ (không phải $13$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-07-2015 - 23:04
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Giả sử ta đổi lại đề thành: Cho a+b+c=3. Tìm ước lượng tốt nhất P=$\prod (a+b^2)$(ở đề bài đã cho là chặn dưới 13 chưa chứng minh được)
$Đặt x=a+b^2;Đặt y=b+c^2;Đặt z=c+a^2$
Khi đó ta có x+y+z=$a^2+b^2+c^2+3$
Giả sử a$\geq b\geq c$
Khi đó x+y+z<22
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có VT bất đẳng thức<$(\frac{22}{3})^3=\approx 394$
Vậy là ta đã hạ chặn xuống còn <$\approx$394.
Mong các bạn tiếp tục giảm ước lượng tốt hơn để bất đẳng thức đúng.
Vẫn với cách làm trên mình đã hạ chặn biểu thức xuống <64.
Thật vậy ta có x+y+z= $\left ( a+b+c \right )^2-2(ab+ca+bc)+3=12-2(ab+bc+ca)< 12$(do a,b,c>0)
Do đó theo bất đẳng thức AM-GM P<$(\frac{12}{3})^3=64$
Mong các bạn tiếp tục cho chặn nhỏ hơn để bài toán ban đầu được chứng minh
Đáng chú ý là theo cách giải của anh chanhquocchiem thì nếu a,b,c>0 thì bài toán ko có max do đó ta nên đổi nó thành tìm chặn trên tốt nhất cho biểu thức VT
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 08-07-2015 - 14:59
Cho $a=0$ là thấy bị sai rồi.
a,b,c là các số dương cơ mà.
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
So sánh (1),(2) và (6), ta có GTLN của $P$ xấp xỉ $12,76495658$
(xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ ; $c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ và các hoán vị vòng tròn)
Dựa trên tính toán của anh thì ta có thể làm chặt bài toán lên thành:
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq \frac{121808+8309\sqrt[3]{28}-5936\sqrt[3]{98}}{9375}$
Với dấu bằng xảy ra khi $a=0,b=\frac{32-4\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{98}}{15},c=\frac{13+4\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{98}}{15}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 07-07-2015 - 23:31
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
Vậy là hình như bài toán đã giải được thì phải (mặc dù ko phải cách cấp THCS).
Nếu a,b,c>0 thì chặn trên nhỏ nhất của P là bao nhiêu??????
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh