Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Bắt đầu bởi phamquanglam, 26-06-2014 - 16:44
hoangson2598

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
phamquanglam
Đã gửi 26-06-2014 - 16:44

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Cho 3 số $a,b,c$ không âm.

CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

P/s: Mình biết đây là bài toán quá quen thuộc rồi! bây giờ mong các bạn tìm ra càng nhiều cách chứng minh cho nó càng tốt..... mình ước chừng khoảng 10 cách........

:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:

#2
Viet Hoang 99
Đã gửi 26-06-2014 - 17:03

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Cho 3 số $a,b,c$ không âm.

CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

P/s: Mình biết đây là bài toán quá quen thuộc rồi! bây giờ mong các bạn tìm ra càng nhiều cách chứng minh cho nó càng tốt..... mình ước chừng khoảng 10 cách........

:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

$1/$

$BDT\Leftrightarrow \sum \left (\frac{a}{b+c}+1  \right )\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow 2(a+b+c)\sum \frac{1}{a+b}\geq 9$

Đúng theo BĐT quen thuộc: $\sum x.\sum \frac{1}{x}\geq 9$


1- Tính toán http://www.wolframalpha.com

2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/

4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!

$\color{Red}{\large{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \blacksquare&\color{Blue}{\star\star\star\star\star}\:\mathcal{VMF}\:\color{Blue}{\star\star\star\star\star}&\blacksquare\\ \hline \color{Black}{\bigstar} &\begin{array}{|ccc|} \hline \mathfrak{V}&\mathfrak{M}&\mathfrak{F}\\ \mathfrak{M}&\boxed{\color{Black}{\mathcal{Viet~ \mathcal{Hoang}~\textrm{99}}}}&\mathfrak{M}\\ \mathfrak{F}&\mathfrak{M}&\mathfrak{V}\\ \hline \end{array} &\color{Black}{\bigstar}\\ \hline \blacksquare&\color{Blue}{\star\star\star\star\star}\:\mathcal{VMF}\:\color{Blue}{\star\star\star\star\star}&\blacksquare\\ \hline \end{array}}}$

#3
Viet Hoang 99
Đã gửi 26-06-2014 - 17:05

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Cho 3 số $a,b,c$ không âm.
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
P/s: Mình biết đây là bài toán quá quen thuộc rồi! bây giờ mong các bạn tìm ra càng nhiều cách chứng minh cho nó càng tốt..... mình ước chừng khoảng 10 cách........
:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:

$2/$
$\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^2}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (BCS cộng mẫu)
Ta CM: $\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ (quen thuộc)

Cho 3 số $a,b,c$ không âm.
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
P/s: Mình biết đây là bài toán quá quen thuộc rồi! bây giờ mong các bạn tìm ra càng nhiều cách chứng minh cho nó càng tốt..... mình ước chừng khoảng 10 cách........
:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:

$3/$
Đặt $M=\sum \frac{b}{b+c}$
$N=\sum \frac{c}{b+c}$
$\Rightarrow M+N=1$
Có: $M+\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a+b}{b+c}\geq 3\sqrt[3]{1}=3$
Tương tự: $N+\sum \frac{a}{b+c}\geq 3$
$\Rightarrow M+N+2\sum \frac{a}{b+c}\geq 6$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ (Do $M+N=1$)

Cho 3 số $a,b,c$ không âm.
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
P/s: Mình biết đây là bài toán quá quen thuộc rồi! bây giờ mong các bạn tìm ra càng nhiều cách chứng minh cho nó càng tốt..... mình ước chừng khoảng 10 cách........
:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:

$5/$
Xét hiệu
$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \left ( \frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)} \right )\geq 0$



Có 45 cách (vừa tìm thấy)
File gửi kèm  45_chung_minh_Nesbitt_www.MATHVN.com.pdf   223.86K   226 Số lần tải
P/s:
phamquanglam
lớp 8 thì vào box THCS mà đăng bài
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-06-2014 - 11:39

1- Tính toán http://www.wolframalpha.com

2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/

4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!

$\color{Red}{\large{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \blacksquare&\color{Blue}{\star\star\star\star\star}\:\mathcal{VMF}\:\color{Blue}{\star\star\star\star\star}&\blacksquare\\ \hline \color{Black}{\bigstar} &\begin{array}{|ccc|} \hline \mathfrak{V}&\mathfrak{M}&\mathfrak{F}\\ \mathfrak{M}&\boxed{\color{Black}{\mathcal{Viet~ \mathcal{Hoang}~\textrm{99}}}}&\mathfrak{M}\\ \mathfrak{F}&\mathfrak{M}&\mathfrak{V}\\ \hline \end{array} &\color{Black}{\bigstar}\\ \hline \blacksquare&\color{Blue}{\star\star\star\star\star}\:\mathcal{VMF}\:\color{Blue}{\star\star\star\star\star}&\blacksquare\\ \hline \end{array}}}$

#4
Ngoc Hung
Đã gửi 28-06-2014 - 07:40

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cho 3 số $a,b,c$ không âm.

CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

P/s: Mình biết đây là bài toán quá quen thuộc rồi! bây giờ mong các bạn tìm ra càng nhiều cách chứng minh cho nó càng tốt..... mình ước chừng khoảng 10 cách........

:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Đề bài bạn đã sai rồi. Cho a, b, c > 0 mới đúng nhé


#5
PolarBear154
Đã gửi 28-06-2014 - 08:29

PolarBear154

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 396 Bài viết

Đề bài bạn đã sai rồi. Cho a, b, c > 0 mới đúng nhé

Có sai đâu bạn, bài này nếu có số bằng 0 thì do ĐKXĐ, chỉ có thể có 1 số, k mất tính TQ, giả sử là a thì vế trái thành: $\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2> \frac{3}{2}$


Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc... 

#6
KietLW9
Đã gửi 12-04-2021 - 20:41

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Chuẩn hóa $a + b + c = 3$ thì ta cần chứng minh: $\frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\geqslant \frac{3}{2}$

Xét bất đẳng thức phụ: $\frac{a}{3-a}\geqslant \frac{3a-1}{4}\Leftrightarrow \frac{3(a-1)^2}{4(3-a)}\geqslant 0$*đúng*

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\geqslant\frac{3(a+b+c)-3}{4}=\frac{3}{2}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 

Trở lại Bất đẳng thức và cực trị



Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hoangson2598

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán Trung học Cơ sở
  3. → Bất đẳng thức và cực trị