Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Junior Balkan MO 2014

jbmo 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-06-2014 - 19:27

Bài 1. Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $3p^4- 5q^4-4r^2=26$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ có diện tích $S$. Lấy $CD \perp AB \; (D \in AB), DM \perp AC$ và $DN \perp BC \; (N \in BC)$. Kí hiệu $H_1,H_2$ thứ tự là trực tam giác $MNC$ và $MND$. Tìm diện tích tứ giác $AH_1BH_2$ theo $S$.

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

Bài 4. Cho số nguyên dương $n$, hai người chơi $A$ và $B$ cùng chời một trò chơi nhặt tiền (theo bản gốc là đá nhưng mà cứ dịch tiền cho anh em máu): Có $s$ tờ 1 đôla hai người lần lượt nhặt tiền với $A$ nhặt trước. Mỗi lượt người chơi chỉ được lấy $1$ đôla, $p$ đô la ($p$ nguyên tố) hoặc số đôla là bội của $n$. Người thắng cuộc là người lấy đồng đôla cuối cùng. Hỏi có bao nhiều giá trị của $s$ để $A$ không thể thắng cuộc ?


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 26-06-2014 - 20:06

 

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

 

Xem lời giải tại đây


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#3 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 26-06-2014 - 20:47

 

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

 

Áp dụng BĐT AM-GM

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, ta có BĐT tương đương là

 $\sum \left ( \frac{x+z}{y} \right )^2\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+1 \right )$

Ta có : $\sum \left ( \frac{x+z}{y} \right )^2=\frac{x^2+z^2}{y^2}+\frac{x^2+y^2}{z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{2xz}{y^2}+\frac{2yz}{x^2}+\frac{2xy}{z^2}=\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \right )+\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2} \right )+\left ( \frac{z^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2} \right ) \right ]+\frac{2xz}{y^2}+\frac{2yz}{x^2}+\frac{2xy}{z^2}\geq \left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+6.\sqrt[3]{\frac{xyyzzx}{x^2y^2z^2}}=\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+6\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+3$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#4 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 26-06-2014 - 21:03

Bài 1. Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $3p^4- 5q^4-4r^2=26$.

 

Ta thấy $5q^4\equiv 0(mod5)\Rightarrow 3p^4-4r^2\equiv 26\equiv 1(mod5)$

  • Nếu $p,r$ không chia hết cho 5 thì $3p^4\equiv 3(mod5),4r^2\equiv 4;1(mod5)\Rightarrow 3p^4-4r^2\equiv -1;2(mod5)$

Suy ra phải có 1 số chia hết cho 5 mà $p,q,r$ là các số nguyên tố nên $p,r$ có 1 số bằng 5.

  • Nếu $p=5$ $\Rightarrow$ $5q^4+4r^2=1849\Rightarrow q=3,r=19$
  • Nếu $r=5\Rightarrow 3p^4-5q^4=126\Rightarrow 3p^4=5q^4+126$ loại vì $3q^4\equiv 3(mod5),126+5r^4\equiv 1(mod5)$

Vậy $p=5,q=3,r=19$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#5 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 27-06-2014 - 06:02

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

 

Ta có : Áp dụng BĐT Bunhia

$\left ( 1+1+1 \right )\left [\sum \left ( a+\frac{1}{b} \right ) ^2\right ]\geq \left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2$

BĐT tương đương là : $\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2\geq 9\left ( a+b+c+1 \right )$

Ta có : $\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2=\left [ \sum \left ( a+\frac{1}{a} \right ) \right ]^2=\sum a^2+\sum b^2c^2+6+2\left ( a+\frac{1}{a} \right )\left ( b+\frac{1}{b} \right )+2\left ( b+\frac{1}{b} \right )\left ( c+\frac{1}{c} \right )+2\left ( a+\frac{1}{a} \right )\left ( c+\frac{1}{c} \right )=\sum a^2+\sum b^2c^2+6+2\left ( \sum ab+\sum a \right )+2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq 6+2\sum a+4\sum ab+2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )=6+2\sum a+2\sum \left ( ab+\frac{a}{b}+ab+\frac{b}{a} \right )\geq 6+2\sum a+2\sum \left ( 2a+2b \right )=6+10\left ( a+b+c \right )\geq 9\left ( a+b+c+1 \right )$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#6 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 16-02-2020 - 00:38

hay







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh