Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

Cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn bằng máy tính

cách giải phương trình bậc 4 căn trong căn tổng và tích lẻ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 27-06-2014 - 00:02

Nối tiếp cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính khá phổ biến : http://diendantoanho...-bằng-may-tinh/ , trong bài viết này mình sẽ đưa ra cho các bạn cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn

Nói 1 cách nôm na là khi giải phương trình bậc 4 bằng cách dùng máy tính , bạn đã thử tổng , tích rồi mà vẫn không ra số đẹp thì hãy thử làm theo cách này !
Yêu cầu : cần nắm được sơ bộ thủ thuật 1 trong bài viết : http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

VD1 : Giải phương trình : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$

Kết quả : $(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$

Câu hỏi : Làm sao để có đươc kết quả " đẹp " như vậy , chúng ta cùng làm theo những bước sau :

Bước 1 : Viết phương trình lên máy tính bỏ túi rồi SHIFT SOLVE cho $X = 0$ , ta được: $X=-0,234888729\rightarrow$ SHIFT STO A

Bước 2 : Viết lên máy tính bỏ túi : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x-A}=0$ , Shift Solve cho $X = 0$ ta được : $X=2,072611069\rightarrow$ SHIFT STO B
Tiếp theo , viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{(x-A)(x-B)}=0$ , Shift Solve cho $X =0$ thì máy báo " Can't solve " , nghĩa là phương trình ban đầu chỉ có 2 nghiệm là A và B
Thử $A+B,AB$ ta được $A+B=1,83772234$ , $AB=-0,4868329805$ ??

Giờ tính sao .....
_________________________________________________________

Một ý tưởng táo bạo đã chợt đến với mình khi làm đến đây !

Bước 3 :
Viết lên màn hình : $x^2-(A+B)x+AB$ rồi CALC cho $x=1000$ , ta được : $998161,7908 \rightarrow$ SHIFT STO E

Bước 4 : đây là bước quan trọng nhất , không có bước này thì coi như bước 3 bỏ đi

Viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x^2-(A+B)x+AB}$ , CALC cho $x=1000$ ,
ta được : $991856,2092\rightarrow$ SHIFT STO F
________________________________________________________________________
Đến đây chắc hẳn nhiều bạn đã hiểu được ý tưởng của mình ...
Tuy nhiên thay vì tính $E+F$ , $EF$ ta sẽ làm như sau :
Tính : $\frac{E+F}{2}=995009$
$\frac{(E-F)^2}{4}=9940090$
Do $E>F$ nên : $E=\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=995009+\sqrt{9940090}$
Tương tự : $F=995009-\sqrt{9940090}$
_________________________________________________________

Từ đây :
$E=995009+\sqrt{9940090}=x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90}$
$F=995009-\sqrt{9940090}=x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90}$
Suy ra : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
* Nếu bạn chưa hiểu được cách làm trên thì cần đọc lại phần Yêu cầu !

Vậy $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
$=(x^2-5x+9+\sqrt{10(x-3)^2})(x^2-5x+9-\sqrt{10(x-3)^2})$
$=(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})$
Thế là xong rồi đó !

Dưới đây là bài tập cho các bạn thực hành :
Giải các phương trình sau :
$\Delta 1 : x^4-2x^3+x^2+2x-1=0$
$\Delta 2 : x^4-2x^3+x-1=0$
From : 10 Tin K47 CSP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 03-07-2014 - 22:40

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#2 A4 Productions

A4 Productions

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textbf{THPT Việt Yên 1}$

Đã gửi 27-06-2014 - 05:58

thế này khi giải pt vẫn phải bình phương thêm lần nữa à? :(

 

nhưng dù sao cũng rất hay.  :ukliam2: ủng hộ thớt ra phần tiếp ! :lol:  :namtay


DSC02736_zps169907e0.jpg


#3 A4 Productions

A4 Productions

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textbf{THPT Việt Yên 1}$

Đã gửi 27-06-2014 - 06:33

$\Delta 1 : x^4-2x^3+x^2+2x-1=0$

$\Delta 2 : x^4-2x^3+x-1=0$

$\Delta 1:{x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1 + \sqrt {2{x^2} - 4x + 2} } \right)\left( {{x^2} - x + 1 - \sqrt {2{x^2} - 4x + 2} } \right)$.

 

$\Delta 2$... bó cánh  :lol:

 

Tính : $\frac{E+F}{2}=995009$

          $\frac{(E-F)^2}{4}=9940090$ 

cho mình hỏi tại sao lại tính 2 biểu thức này vậy?  >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sonesod: 27-06-2014 - 06:34

DSC02736_zps169907e0.jpg


#4 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 27-06-2014 - 14:07

$\Delta 1:{x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1 + \sqrt {2{x^2} - 4x + 2} } \right)\left( {{x^2} - x + 1 - \sqrt {2{x^2} - 4x + 2} }\right)=0$.

Đến đây còn làm được tiếp ...
$PT\Leftrightarrow (x^2-x+1+\sqrt{2(x-1)^2})(x^2-x+1-\sqrt{2(x-1)^2})=0$
$\Leftrightarrow (x^2-(1-\sqrt{2})x+1-\sqrt{2})(x^2-(1+\sqrt{2})x+1+\sqrt{2})=0$

cho mình hỏi tại sao lại tính 2 biểu thức này vậy? >:)
Tính : $\frac{E+F}{2}=995009$
$\frac{(E-F)^2}{4}=9940090$

Chỗ này là để chuẩn bị cho đoạn đằng sau :
Do $E>F$ nên : $E=\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=995009+\sqrt{9940090}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 03-07-2014 - 22:18

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#5 A4 Productions

A4 Productions

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textbf{THPT Việt Yên 1}$

Đã gửi 27-06-2014 - 17:03

Tiếp nè : $(x^2-5x+9+\sqrt{10(x-3)^2})(x^2-5x+9-\sqrt{10(x-3)^2})=0$

$\Leftrightarrow (x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$

OK ?

_____________________________________________________________________________________

Ô vậy sao phá căn ra lại mất trị tuyệt đối được nhỉ?  :mellow:


DSC02736_zps169907e0.jpg


#6 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 27-06-2014 - 17:25

Ô vậy sao phá căn ra lại mất trị tuyệt đối được nhỉ?   :mellow:

Cái này dễ hiểu thôi ...

 

$(x^2-5x+9+\sqrt{10(x-3)^2})(x^2-5x+9-\sqrt{10(x-3)^2})=0$

$\Leftrightarrow (x^2-5x+9)^2-[\sqrt{10}(x-3)]^2=0$

$\Leftrightarrow [x^2-5x+9-\sqrt{10}(x-3)] [x^2-5x+9+\sqrt{10}(x-3)]=0$ 

$\Leftrightarrow (x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 03-07-2014 - 21:18

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#7 A4 Productions

A4 Productions

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textbf{THPT Việt Yên 1}$

Đã gửi 27-06-2014 - 21:01

vậy đi thi mà làm như thế này (kiểu một phát ra luôn) không biết có bị trừ điểm không nhỉ? :D

 

ps: giáo viên nể phải biết =))))))


DSC02736_zps169907e0.jpg


#8 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 06-07-2014 - 16:40

Nối tiếp cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính khá phổ biến : http://diendantoanho...-bằng-may-tinh/ , trong bài viết này mình sẽ đưa ra cho các bạn cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn

Nói 1 cách nôm na là khi giải phương trình bậc 4 bằng cách dùng máy tính , bạn đã thử tổng , tích rồi mà vẫn không ra số đẹp thì hãy thử làm theo cách này !
Yêu cầu : cần nắm được sơ bộ thủ thuật 1 trong bài viết : http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

VD1 : Giải phương trình : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$

Kết quả : $(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$

Câu hỏi : Làm sao để có đươc kết quả " đẹp " như vậy , chúng ta cùng làm theo những bước sau :

Bước 1 : Viết phương trình lên máy tính bỏ túi rồi SHIFT SOLVE cho $X = 0$ , ta được: $X=-0,234888729\rightarrow$ SHIFT STO A

Bước 2 : Viết lên máy tính bỏ túi : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x-A}=0$ , Shift Solve cho $X = 0$ ta được : $X=2,072611069\rightarrow$ SHIFT STO B
Tiếp theo , viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{(x-A)(x-B)}=0$ , Shift Solve cho $X =0$ thì máy báo " Can't solve " , nghĩa là phương trình ban đầu chỉ có 2 nghiệm là A và B
Thử $A+B,AB$ ta được $A+B=1,83772234$ , $AB=-0,4868329805$ ??

Giờ tính sao .....
_________________________________________________________

Một ý tưởng táo bạo đã chợt đến với mình khi làm đến đây !

Bước 3 :
Viết lên màn hình : $x^2-(A+B)x+AB$ rồi CALC cho $x=1000$ , ta được : $998161,7908 \rightarrow$ SHIFT STO E

Bước 4 : đây là bước quan trọng nhất , không có bước này thì coi như bước 3 bỏ đi

Viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x^2-(A+B)x+AB}$ , CALC cho $x=1000$ ,
ta được : $991856,2092\rightarrow$ SHIFT STO F
________________________________________________________________________
Đến đây chắc hẳn nhiều bạn đã hiểu được ý tưởng của mình ...
Tuy nhiên thay vì tính $E+F$ , $EF$ ta sẽ làm như sau :
Tính : $\frac{E+F}{2}=995009$
$\frac{(E-F)^2}{4}=9940090$
Do $E>F$ nên : $E=\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=995009+\sqrt{9940090}$
Tương tự : $F=995009-\sqrt{9940090}$
_________________________________________________________

Từ đây :
$E=995009+\sqrt{9940090}=x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90}$
$F=995009-\sqrt{9940090}=x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90}$
Suy ra : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
* Nếu bạn chưa hiểu được cách làm trên thì cần đọc lại phần Yêu cầu !

Vậy $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
$=(x^2-5x+9+\sqrt{10(x-3)^2})(x^2-5x+9-\sqrt{10(x-3)^2})$
$=(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})$
Thế là xong rồi đó !

Dưới đây là bài tập cho các bạn thực hành :
Giải các phương trình sau :
$\Delta 1 : x^4-2x^3+x^2+2x-1=0$
$\Delta 2 : x^4-2x^3+x-1=0$
From : 10 Tin K47 CSP

Cái này lúc trước tự cầm máy tính mày mò , nhưng chỉ biết làm đến chỗ $A+B$ và $AB$ là số ''đẹp'' thôi !!

Nhưng chắc cũng không đến nỗi phải làm theo cách này . 

Nhưng phương trình bậc $4$ như vậy chỉ đố nhau là chính thôi , chứ đề thi không bao giờ như vậy . Trừ khi trong giải phương trình , bí quá phải ''trâu bò '' bình phương lên để gặp phương trình bậc $4$ như vậy



#9 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 28-09-2014 - 15:33

Nối tiếp cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính khá phổ biến : http://diendantoanho...-bằng-may-tinh/ , trong bài viết này mình sẽ đưa ra cho các bạn cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn

Nói 1 cách nôm na là khi giải phương trình bậc 4 bằng cách dùng máy tính , bạn đã thử tổng , tích rồi mà vẫn không ra số đẹp thì hãy thử làm theo cách này !
Yêu cầu : cần nắm được sơ bộ thủ thuật 1 trong bài viết : http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

VD1 : Giải phương trình : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$

Kết quả : $(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$

Câu hỏi : Làm sao để có đươc kết quả " đẹp " như vậy , chúng ta cùng làm theo những bước sau :

Bước 1 : Viết phương trình lên máy tính bỏ túi rồi SHIFT SOLVE cho $X = 0$ , ta được: $X=-0,234888729\rightarrow$ SHIFT STO A

Bước 2 : Viết lên máy tính bỏ túi : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x-A}=0$ , Shift Solve cho $X = 0$ ta được : $X=2,072611069\rightarrow$ SHIFT STO B
Tiếp theo , viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{(x-A)(x-B)}=0$ , Shift Solve cho $X =0$ thì máy báo " Can't solve " , nghĩa là phương trình ban đầu chỉ có 2 nghiệm là A và B
Thử $A+B,AB$ ta được $A+B=1,83772234$ , $AB=-0,4868329805$ ??

Giờ tính sao .....
_________________________________________________________

Một ý tưởng táo bạo đã chợt đến với mình khi làm đến đây !

Bước 3 :
Viết lên màn hình : $x^2-(A+B)x+AB$ rồi CALC cho $x=1000$ , ta được : $998161,7908 \rightarrow$ SHIFT STO E

Bước 4 : đây là bước quan trọng nhất , không có bước này thì coi như bước 3 bỏ đi

Viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x^2-(A+B)x+AB}$ , CALC cho $x=1000$ ,
ta được : $991856,2092\rightarrow$ SHIFT STO F
________________________________________________________________________
Đến đây chắc hẳn nhiều bạn đã hiểu được ý tưởng của mình ...
Tuy nhiên thay vì tính $E+F$ , $EF$ ta sẽ làm như sau :
Tính : $\frac{E+F}{2}=995009$
$\frac{(E-F)^2}{4}=9940090$
Do $E>F$ nên : $E=\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=995009+\sqrt{9940090}$
Tương tự : $F=995009-\sqrt{9940090}$
_________________________________________________________

Từ đây :
$E=995009+\sqrt{9940090}=x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90}$
$F=995009-\sqrt{9940090}=x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90}$
Suy ra : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
* Nếu bạn chưa hiểu được cách làm trên thì cần đọc lại phần Yêu cầu !

Vậy $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
$=(x^2-5x+9+\sqrt{10(x-3)^2})(x^2-5x+9-\sqrt{10(x-3)^2})$
$=(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})$
Thế là xong rồi đó !

Dưới đây là bài tập cho các bạn thực hành :
Giải các phương trình sau :
$\Delta 1 : x^4-2x^3+x^2+2x-1=0$
$\Delta 2 : x^4-2x^3+x-1=0$
From : 10 Tin K47 CSP

 Bạn ơi cho mình hỏi:nếu phương trình bậc 4 có 3 nghiệm  hoặc$\frac{(E-F)^2}{4}$ lẻ  thì làm thế nào?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan huong: 29-09-2014 - 13:03


#10 kisi

kisi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Đã gửi 24-11-2014 - 19:46

Vậy nếu phương trình bậc 3 có 1 nghiệm có dạng $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}} +\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}$ và 2 nghiệm ảo thì anh có phương pháp nào không????

:wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kisi: 24-11-2014 - 19:47


#11 longmy

longmy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Đã gửi 05-12-2014 - 10:32

Bài tập 1
$$ x^4-10x^3+33x^2-30x+9=0. $$

Sử dụng SOLVE suy ra phương trình có 2 nghiệm thực là

$ x_1=-0.234888729 $ gán vào $A$.

$ x_2=2.072611069 $ gán vào $B$.

Nhìn hệ số của $x^3$ suy ra $-10=-2\alpha$, nên $\alpha=5$.

Mà $x_1+x_2=A+B=\alpha-\sqrt{\beta}$ nên $-0.234888729 +2.072611069=5-\sqrt{\beta}$, suy ra $\sqrt{\beta}=3.16227766$, kéo theo $\beta=10$. Tóm lại ta có $\sqrt{\beta}=\sqrt{10}$.

Nhìn hệ số của $x^2$ suy ra $33=\alpha^2-\beta+2\gamma=5^2-10+2\gamma$, nên $\gamma=9$.

Mà $x_1.x_2=A.B=\gamma-\sqrt{\delta}$ nên $(-0.234888729). 2.072611069=9-\sqrt{\delta}$, suy ra $\sqrt{\delta}=9.486832981$, kéo theo $\delta=90$. Tóm lại ta có $\sqrt{\delta}=3\sqrt{10}$.

Vậy, $S=x_1+x_2=\alpha-\sqrt{\beta}=5-\sqrt{10}$ và $P=x_1.x_2=\gamma-\sqrt{\delta}=9-3\sqrt{10}$. Từ đây suy ra $S'=5+\sqrt{10}$ và $P'=9+3\sqrt{10}$.

Kết luận,
$$ x^4-10x^3+33x^2-30x+9=(x^2-Sx+P)(x^2-S'x+P')$$

$$=[x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10}].[x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10}]. $$

-------------------------------------

Bài tập 2
$$ x^4-2x^3+x^2+2x-1=0. $$

Sử dụng SOLVE suy ra phương trình có 2 nghiệm thực là

$ x_1=0.4689899435 $ gán vào $A$.

$ x_2=-0.8832035059 $ gán vào $B$.

Nhìn hệ số của $x^3$ suy ra $-2=-2\alpha$, nên $\alpha=1$.

Mà $x_1+x_2=A+B=\alpha-\sqrt{\beta}$ nên $0.4689899435-0.8832035059=1-\sqrt{\beta}$, suy ra $\sqrt{\beta}=1.414213562$, kéo theo $\beta=2$. Tóm lại ta có $\sqrt{\beta}=\sqrt{2}$.

Nhìn hệ số của $x^2$ suy ra $1=\alpha^2-\beta+2\gamma=1^2-2+2\gamma$, nên $\gamma=1$.

Mà $x_1.x_2=A.B=\gamma-\sqrt{\delta}$ nên $0.4689899435.(-0.8832035059)=1-\sqrt{\delta}$, suy ra $\sqrt{\delta}=1.414213562$, kéo theo $\delta=2$. Tóm lại ta có $\sqrt{\delta}=\sqrt{2}$.

Vậy, $S=x_1+x_2=\alpha-\sqrt{\beta}=1-\sqrt{2}$ và $P=x_1.x_2=\gamma-\sqrt{\delta}=1-\sqrt{2}$. Từ đây suy ra $S'=1+\sqrt{2}$ và $P'=1+\sqrt{2}$.

Kết luận,
$$ x^4-2x^3+x^2+2x-1=(x^2-Sx+P)(x^2-S'x+P')$$

$$=[x^2-(1-\sqrt{2})x+1-\sqrt{2}].[x^2-(1+\sqrt{2})x+1+\sqrt{2}]. $$

-------------------------------------

Bài tập 3
$$ x^4-2x^3+x-1=0. $$

Sử dụng SOLVE suy ra phương trình có 2 nghiệm thực là

$ x_1=1.866760399 $ gán vào $A$.

$ x_2=-0.8667603992 $ gán vào $B$.

Nhìn hệ số của $x^3$ suy ra $-2=-2\alpha$, nên $\alpha=1$.

Mà $x_1+x_2=A+B=\alpha-\sqrt{\beta}$ nên $1.866760399-0.8667603992=1-\sqrt{\beta}$, suy ra $\sqrt{\beta}=0$, kéo theo $\beta=0$. Tóm lại ta có $\sqrt{\beta}=0$.

Nhìn hệ số của $x^2$ suy ra $0=\alpha^2-\beta+2\gamma=1^2-0+2\gamma$, nên $\gamma=-1/2$.

Mà $x_1.x_2=A.B=\gamma-\sqrt{\delta}$ nên $1.866760399.(-0.8667603992)=-1/2-\sqrt{\delta}$, suy ra $\sqrt{\delta}=1.118033989$, kéo theo $\delta=5/4$. Tóm lại ta có $\sqrt{\delta}=\sqrt{5}/2$.

Vậy, $S=x_1+x_2=1$ và $P=x_1.x_2=\gamma-\sqrt{\delta}=-1/2-\sqrt{5}/2$. Từ đây suy ra $S'=1$ và $P'=-1/2+\sqrt{5}/2$.

Kết luận,
$$ x^4-2x^3+x-1=(x^2-Sx+P)(x^2-S'x+P')$$

$$=[x^2-x-1/2-\sqrt{5}/2].[x^2-x-1/2+\sqrt{5}/2]. $$
 



#12 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 17-12-2014 - 18:07

Nối tiếp cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính khá phổ biến : http://diendantoanho...-bằng-may-tinh/ , trong bài viết này mình sẽ đưa ra cho các bạn cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn

Nói 1 cách nôm na là khi giải phương trình bậc 4 bằng cách dùng máy tính , bạn đã thử tổng , tích rồi mà vẫn không ra số đẹp thì hãy thử làm theo cách này !
Yêu cầu : cần nắm được sơ bộ thủ thuật 1 trong bài viết : http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

VD1 : Giải phương trình : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$

Kết quả : $(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$

Câu hỏi : Làm sao để có đươc kết quả " đẹp " như vậy , chúng ta cùng làm theo những bước sau :

Bước 1 : Viết phương trình lên máy tính bỏ túi rồi SHIFT SOLVE cho $X = 0$ , ta được: $X=-0,234888729\rightarrow$ SHIFT STO A

Bước 2 : Viết lên máy tính bỏ túi : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x-A}=0$ , Shift Solve cho $X = 0$ ta được : $X=2,072611069\rightarrow$ SHIFT STO B
Tiếp theo , viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{(x-A)(x-B)}=0$ , Shift Solve cho $X =0$ thì máy báo " Can't solve " , nghĩa là phương trình ban đầu chỉ có 2 nghiệm là A và B
Thử $A+B,AB$ ta được $A+B=1,83772234$ , $AB=-0,4868329805$ ??

Giờ tính sao .....
_________________________________________________________

Một ý tưởng táo bạo đã chợt đến với mình khi làm đến đây !

Bước 3 :
Viết lên màn hình : $x^2-(A+B)x+AB$ rồi CALC cho $x=1000$ , ta được : $998161,7908 \rightarrow$ SHIFT STO E

Bước 4 : đây là bước quan trọng nhất , không có bước này thì coi như bước 3 bỏ đi

Viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x^2-(A+B)x+AB}$ , CALC cho $x=1000$ ,
ta được : $991856,2092\rightarrow$ SHIFT STO F
________________________________________________________________________
Đến đây chắc hẳn nhiều bạn đã hiểu được ý tưởng của mình ...
Tuy nhiên thay vì tính $E+F$ , $EF$ ta sẽ làm như sau :
Tính : $\frac{E+F}{2}=995009$
$\frac{(E-F)^2}{4}=9940090$
Do $E>F$ nên : $E=\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=995009+\sqrt{9940090}$
Tương tự : $F=995009-\sqrt{9940090}$
_________________________________________________________

Từ đây :
$E=995009+\sqrt{9940090}=x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90}$
$F=995009-\sqrt{9940090}=x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90}$
Suy ra : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
* Nếu bạn chưa hiểu được cách làm trên thì cần đọc lại phần Yêu cầu !

Vậy $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
$=(x^2-5x+9+\sqrt{10(x-3)^2})(x^2-5x+9-\sqrt{10(x-3)^2})$
$=(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})$
Thế là xong rồi đó !

Dưới đây là bài tập cho các bạn thực hành :
Giải các phương trình sau :
$\Delta 1 : x^4-2x^3+x^2+2x-1=0$
$\Delta 2 : x^4-2x^3+x-1=0$
From : 10 Tin K47 CSP

 
Bạn này làm có vẻ dài ...
VD: $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$
Bước 1 : Tìm nghiệm thực : $$A=2,072611 \\ B=-0,2348887$$
Bước 2 : Giả sử PT có thêm 2 nghiệm phức là $C$ và $D$, theo Vi-ét ta có :
$$\left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
ABCD=-9
\end{matrix}\right.
\Rightarrow 

\left\{\begin{matrix}
C+D=8,162277\\ 
CD=18,486832
\end{matrix}\right.

 
 

\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
(A+B)(C+D)=15\\
AB+CD=18\\
ABCD=-9
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B=5-\sqrt{10}\\ 
C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10}
\end{matrix}\right. $$

Lại có $$x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0=(x^2-(A+B)x+AB)(x^2-(C+D)x+CD)$$
Suy ra OK !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 17-12-2014 - 18:09

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#13 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 17-12-2014 - 18:40

Bạn này làm có vẻ dài ...
VD: $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$
Bước 1 : Tìm nghiệm thực : $$A=2,072611 \\ B=-0,2348887$$
Bước 2 : Giả sử PT có thêm 2 nghiệm phức là $C$ và $D$, theo Vi-ét ta có :
$$\left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\
ABCD=-9
\end{matrix}\right.
\Rightarrow

\left\{\begin{matrix}
C+D=8,162277\\
CD=18,486832
\end{matrix}\right.




\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\
(A+B)(C+D)=15\\
AB+CD=18\\
ABCD=-9
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B=5-\sqrt{10}\\
C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10}
\end{matrix}\right. $$

Lại có $$x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0=(x^2-(A+B)x+AB)(x^2-(C+D)x+CD)$$
Suy ra OK !

Được thánh Vi-ét ghé thăm rồi !
Cách anh Việt ghê thật , đúng là không thể bì sức được !
Tuy nhiên cái cách dài của em lại gợi ra 1 ý tưởng ... sau này sẽ đặt tên cho nó là Super Viète

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 22-12-2014 - 02:09

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#14 duck donald

duck donald

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-12-2014 - 22:50

Nối tiếp cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính khá phổ biến : http://diendantoanho...-bằng-may-tinh/ , trong bài viết này mình sẽ đưa ra cho các bạn cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn

Nói 1 cách nôm na là khi giải phương trình bậc 4 bằng cách dùng máy tính , bạn đã thử tổng , tích rồi mà vẫn không ra số đẹp thì hãy thử làm theo cách này !
Yêu cầu : cần nắm được sơ bộ thủ thuật 1 trong bài viết : http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

VD1 : Giải phương trình : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$

Kết quả : $(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$

Câu hỏi : Làm sao để có đươc kết quả " đẹp " như vậy , chúng ta cùng làm theo những bước sau :

Bước 1 : Viết phương trình lên máy tính bỏ túi rồi SHIFT SOLVE cho $X = 0$ , ta được: $X=-0,234888729\rightarrow$ SHIFT STO A

Bước 2 : Viết lên máy tính bỏ túi : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x-A}=0$ , Shift Solve cho $X = 0$ ta được : $X=2,072611069\rightarrow$ SHIFT STO B
Tiếp theo , viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{(x-A)(x-B)}=0$ , Shift Solve cho $X =0$ thì máy báo " Can't solve " , nghĩa là phương trình ban đầu chỉ có 2 nghiệm là A và B
Thử $A+B,AB$ ta được $A+B=1,83772234$ , $AB=-0,4868329805$ ??

Giờ tính sao .....
_________________________________________________________

Một ý tưởng táo bạo đã chợt đến với mình khi làm đến đây !

From : 10 Tin K47 CSP

 

Bạn biết dùng shift solve cho X là những giá trị nào thì ra 4 nghiệm cuả PT bậc 4 không nhỉ ??



#15 zmf94

zmf94

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-12-2014 - 10:22

bài viết , hay , sáng tạo . nhưng cách làm này vẫn tồn tại khuyết điểm tương đối cố hữu . đó là các hệ số phải nguyên . nguyên từ đề bài đến mọi bước tách về sau 



#16 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 29-06-2015 - 19:45

Nếu phương trình bậc 4 có 4 nghiệm lẻ thì làm sao ?
VD : $x^4-2x^3-11x^2+14x+23=0$
Bước 1 : Tìm 4 nghiệm ta được 
$A=-1,0385$
$B=2,333977$
$C=-2,74819$
$D=3,4527$
Bước 2 :
Thử AB+CD , AC+BD , AD+BC xem cái nào đẹp thì đó là cặp nghiệm cần tìm
Dễ thấy đó là AD+BC ( bằng -10 )
Do đó ta được các cặp AD , BC
Bước 3 : 
CALC cho $x^2-(A+D)x+AD$ tại $x=1000$ , SHIFT STO E
CALC cho $x^2-(B+C)x+BC$ tại $x=1000$ , SHIFT STO F
Bước 4 : Vì $F>E$ nên 
F=$\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=998995+1996002$
$=x^2-x-5+\sqrt{2x^2-4x+2}$
Tương tự $E=x^2-x-5-\sqrt{2x^2-4x+2}$
Vậy $x^4-2x^3-11x^2+14x+23=0$ $\Leftrightarrow (x^2-x-5)^2-2(x-1)^2=0$ ... 
OK !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 29-06-2015 - 19:47

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#17 phuonghoa98

phuonghoa98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 30-06-2015 - 19:15

 

Nếu phương trình bậc 4 có 4 nghiệm lẻ thì làm sao ?
VD : $x^4-2x^3-11x^2+14x+23=0$
Bước 1 : Tìm 4 nghiệm ta được 
$A=-1,0385$
$B=2,333977$
$C=-2,74819$
$D=3,4527$
Bước 2 :
Thử AB+CD , AC+BD , AD+BC xem cái nào đẹp thì đó là cặp nghiệm cần tìm
Dễ thấy đó là AD+BC ( bằng -10 )
Do đó ta được các cặp AD , BC
Bước 3 : 
CALC cho $x^2-(A+D)x+AD$ tại $x=1000$ , SHIFT STO E
CALC cho $x^2-(B+C)x+BC$ tại $x=1000$ , SHIFT STO F
Bước 4 : Vì $F>E$ nên 
F=$\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=998995+1996002$
$=x^2-x-5+\sqrt{2x^2-4x+2}$
Tương tự $E=x^2-x-5-\sqrt{2x^2-4x+2}$
Vậy $x^4-2x^3-11x^2+14x+23=0$ $\Leftrightarrow (x^2-x-5)^2-2(x-1)^2=0$ ... 
OK !

 

bấm máy tính thế nào để ra được 4 nghiệm A, B, C, D trên ạ??????



#18 phuonghoa98

phuonghoa98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 30-06-2015 - 20:39

 
Bạn này làm có vẻ dài ...
VD: $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$
Bước 1 : Tìm nghiệm thực : $$A=2,072611 \\ B=-0,2348887$$
Bước 2 : Giả sử PT có thêm 2 nghiệm phức là $C$ và $D$, theo Vi-ét ta có :
$$\left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
ABCD=-9
\end{matrix}\right.
\Rightarrow 

\left\{\begin{matrix}
C+D=8,162277\\ 
CD=18,486832
\end{matrix}\right.

 
 

\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
(A+B)(C+D)=15\\
AB+CD=18\\
ABCD=-9
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B=5-\sqrt{10}\\ 
C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10}
\end{matrix}\right. $$

Lại có $$x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0=(x^2-(A+B)x+AB)(x^2-(C+D)x+CD)$$
Suy ra OK !

e k hiểu sao lại ra được A+B=5-\sqrt{10}\\ 

C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10} 

giải thích dùm e với



#19 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 28-07-2015 - 02:01

e k hiểu sao lại ra được A+B=5-\sqrt{10}\\ 

C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10} 

giải thích dùm e với

Theo Viét đảo thì C,D là nghiệm của pt $X^2-10X+15=0$ , lại có C+D=8,16... nên $C+D=5+\sqrt{10}\\$


Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#20 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 01-09-2015 - 03:51

bấm máy tính thế nào để ra được 4 nghiệm A, B, C, D trên ạ??????

Viết pt lên máy tính , SHIFT SOLVE đc 1 nghiệm SHIFT STO A 
Viết lại pt rồi chia cho $x-A$ , SHIFT SOLVE tiếp đc 1 nghiệm lưu vào B
Viết lại pt rồi chia cho $(x-A)(x-B)$ , SHIFT SOLVE tiếp đc 1 nghiệm lưu vào C

Viết lại pt rồi chia cho $(x-A)(x-B)(x-C)$ , SHIFT SOLVE tiếp đc 1 nghiệm lưu vào D
Vậy ta được 4 nghiệm A , B , C , D 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 01-09-2015 - 03:51

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh