Chủ đề này có 3 trả lời

[tap lam toan]

Bài 1: Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi

$x_{1}=0$ và $x_{n+1}=\left ( \dfrac{1}{27} \right )^{x_{n}}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$
Chứng minh dãy số $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn và tính giới hạn đó.

Bài 2: Cho dãy số $\left ( U_{n} \right )$ được xác định bởi

$U_{1}=5$ và $U_{n+1}=\dfrac{U_{n}^{2012}+3U_{n}+16}{U_{n}^{2011}-U_{n}+11}$ với mọi $n \geq 2$

Tìm $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}^{2011}} \right )$

Bài 3: Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi
$\left ( u_{0} \right )=9,\left ( u_{1} \right )=161$ 

$\left ( u_{n} \right )=18u_{n-1}-u_{n-2}$ với mọi $n \geq 2$
Chứng minh rằng $\dfrac{u_{n}^{2}-1}{5}$ là số chính phương với mọi $n\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 29-06-2014 - 07:29

[Phuong Thu Quoc]

Bài 2: Cho dãy số $\left ( U_{n} \right )$ được xác định bởi

$U_{1}=5$ và $U_{n+1}=\dfrac{U_{n}^{2012}+3U_{n}+16}{U_{n}^{2011}-U_{n}+11}$ với mọi $n \geq 2$

Tìm $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}^{2011}} \right )$

 

Mình nghĩ là tìm $lim\left ( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{u_{i}^{2011}+7}\right )$

 Có $u_{n+1}-4=\frac{u_{n}^{2012}+3u_{n}+16}{u_{n}^{2011}-u_{n}+11}-4=\frac{\left ( u_{n}-4 \right )\left ( u_{n}^{2011} +7\right )}{u_{n}^{2011}+7-u_{n}+4}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}-4}=\frac{1}{u_{n}-4}-\frac{1}{u_{n}^{2011}+7}$

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{u_{i}^{2011}+7}=\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{1}{u_{i}-4}-\frac{1}{u_{i+1}-4} \right )=\frac{1}{u_{1}-4}-\frac{1}{u_{n+1}-4}$

Dễ chứng minh được $limu_{n}=+\infty$

Nên $lim\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{1}{u_{i}^{2011}+7} \right )=lim\frac{1}{u_{1}-4}-lim\frac{1}{u_{n+1}-4}=1$

[abcdxyz123]

Bài 1: Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi

$x_{1}=0$ và $x_{n+1}=\left ( \dfrac{1}{27} \right )^{x_{n}}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$
Chứng minh dãy số $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
 

Đăt f(x)=$\left ( \frac{1}{27} \right )^{x}$ suy ra $x_{n+1}$ = f($x_{n+1}$). Dễ thấy f(x) là hàm nghịch biến với x $\geqslant$0 suy ra hàm số f(f(x) đồng biến trên (0; +$\infty$)

 Ta có $x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=\frac{1}{27}$ suy ra x₁ < x₃ nên dãy (x_2k) nghịch biến dãy(x_2k+1) đồng biến.

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được (x_2k) >$\frac{1}{3}$ >(x_2k+1)  nên dãy (x_2k) có giới hạn A thuộc(0; $\frac{1}{3}$) dãy x_2k+1 có giới hạn B thuộc ($\frac{1}{3}$;+$\infty$) mặt khác $\left\{\begin{matrix} x_{2n+1}=f(x_{2n})& \\ x_{2n}=f(x_{2n-1}) & \end{matrix}\right.$

chuyển qua giới hạn ta có $\left\{\begin{matrix} A=\frac{1}{27} ^{B}& \\ B=\frac{1}{27} ^{A} & \end{matrix}\right.$ suy ra A =B thay vào A=$\frac{1}{27}$^A giải ra A=B=1/3.

Vậy giới hạn  của dãy là 1/3

[davidsilva98]

Bài 3: Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi
$\left ( u_{0} \right )=9,\left ( u_{1} \right )=161$ 

$\left ( u_{n} \right )=18u_{n-1}-u_{n-2}$ với mọi $n \geq 2$
Chứng minh rằng $\dfrac{u_{n}^{2}-1}{5}$ là số chính phương với mọi $n\in \mathbb{N}$

 

Xét dãy số phụ $(v_{n})$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} v_{0}=4;v_{1}=72\\v_{n+1}=18v_{n}-v_{n-1} \end{matrix}\right.$

 

Ta dùng nguyên lý quy nạp chứng minh $v_{n}^{2}=\frac{v_{n}^{2}-1}{5}$

 

$\cdot$ Với $n=0\Rightarrow v_{0}^{2}=\frac{u_{0}^{2}-1}{5}=16$

 

$\cdot$ Với $n=1\Rightarrow v_{1}^{2}=\frac{u_{1}^{2}-1}{5}=72^{2}$

 

$\cdot$ Giả sử $v_{i}^{2}=\frac{u_{i}^{2}-1}{5}$ $(\forall i=\overline{0,n})$

 

$\cdot$ Ta cần chứng minh $v_{k+1}^{2}=\frac{u_{k+1}^{2}-1}{5}\Leftrightarrow 5v_{k+1}^{2}=u_{k+1}^{2}-1$

 

Theo tính chất của dãy sai phân tuyến tính cấp hai ta được:

 

$u_{k+1}.u_{k-1}-u_{k}^{2}=u_{2}.u_{0}-u_{1}^{2}=80\Rightarrow 18u_{k}.u_{k-1}=80+u_{k}^{2}+u_{k-1}^{2}$

 

Tương tự ta có:

 

$18v_{k}.v_{k-1}=-16+v_{k}^{2}+v_{k-1}^{2}$

 

Ta có: $u_{k+1}^{2}-1=(18u_{k}-u_{k-1})^{2}-1=322u_{k}^{2}-u_{k-1}^{2}-161=1610u_{k}^{2}-5v_{k-1}^{2}+160$

 

$\Leftrightarrow u_{k+1}^{2}-1=1610v_{k}^{2}-5v_{k-1}^{2}+10(v_{k}^{2}-18v_{k}.v_{k-1}+v_{k-1}^{2})=(18v_{k}-v_{k-1})^{2}$

 

$\Leftrightarrow u_{k+1}^{2}-1=5v_{k+1}^{2}$

 

Vậy chứng minh hoàn thành.