Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

Lời giải:

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}+\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\leq 1$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số ta có:

$\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\leq \frac{\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\leq \frac{\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}}{3}$

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta được đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$ và $x=y=z$

[bauduc007]

phá tung ra roi dùng co si là dc

[Hoang Thi Thao Hien]

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)$

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)} \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{a}{x}.\frac{b}{y}.\frac{c}{z}} +1 \leq \sqrt[3]{(\frac{a}{x}+1)(\frac{b}{y}+1)(\frac{c}{z}+1)}$

Đặt: $m= \frac{a}{x}$, $n= \frac{b}{y}$, $p=\frac{c}{z}$ thì BĐT trở thành:

$\sqrt[3]{mnp}+1\leq \sqrt[3]{(m+1)(n+1)(p+1)}$

Biến đổi tương đương ta có: $3\sqrt[3]{mnp}+3\sqrt[3]{m^2n^2p^2}\leq m+n+p+m^2+n^2+p^2$. đúng theo BĐT Co-si cho 3 số dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Thi Thao Hien: 29-06-2014 - 11:08

[dogsteven]

Áp dụng BDT Holder:

 

$(a+x)(b+y)(c+z) \ge (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz})^3$

 

BDT được chứng minh.

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$