Cho $a,b$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$
#1
Đã gửi 29-06-2014 - 18:45
- perfectstrong, Zaraki, Syndycate và 2 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 02-11-2020 - 09:21
Cho $a,b$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$
Xét $2$ trường hợp :
+ TH1 : $a=b=k$.
Khi đó, nếu chọn $x$ và $y$ sao cho $x+y=2k+1$ thì ta có $\binom{x+y}{2}=\frac{(x+y)(x+y-1)}{2}=k(x+y)=ax+by$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
+ TH2 : $a\neq b$.
Đặt $L=\max\left \{ a;b \right \}$ ; $N=\min\left \{ a;b \right \}$ và $M=x+y$. Ta có :
$\frac{(x+y)(x+y-1)}{2}=ax+by\Rightarrow N.M< \frac{M.(M-1)}{2}< L.M\Rightarrow 2N+1< M< 2L+1$
Mặt khác, $\binom{x+y}{2}=C_{x+y}^2=ax+by=a(x+y)+(b-a)y\Rightarrow C_{x+y}^2-a(x+y)\ \vdots\ (b-a)$
Vậy có thể chọn sao cho $x+y\ \vdots\ 2(b-a)$ hay $M\ \vdots\ 2(L-N)$
Tóm lại, có thể chọn $M$ sao cho $\left\{\begin{matrix}2N+1< M< 2L+1\\M\ \vdots\ 2(L-N) \end{matrix}\right.$
Nhận xét rằng $2N+1$ và $2L+1$ không thể là bội số của $2(L-N)$ và trong đoạn $\left [ 2N+1;2L+1 \right ]$ có đúng $2(L-N)+1$ số tự nhiên nên chắc chắn sẽ có đúng $1$ số chia hết cho $2(L-N)$, đó chính là số $M$ cần chọn.
Khi đó $\left\{\begin{matrix}y=\frac{\binom{M}{2}-a.M}{b-a}\\x=M-y \end{matrix}\right.$ $(^\ast )$
Vậy, "quy trình" tìm $x$ và $y$ trong TH2 ($a\neq b$) như sau :
- Gọi $N$ và $L$ lần lượt là số nhỏ nhất và lớn nhất trong $2$ số $a,b$
- Tìm số $M$ thuộc $\left [ 2N+1;2L+1 \right ]$ và chia hết cho $2(L-N)$
- Từ $M$, tìm được $x,y$ theo các công thức $(^\ast )$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-11-2020 - 09:54
- Ispectorgadget, Tan Thuy Hoang và Mr handsome ugly thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh