Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $a,b$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$

[chanhquocnghiem]

Cho $a,b$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$

Xét $2$ trường hợp :

+ TH1 : $a=b=k$.

   Khi đó, nếu chọn $x$ và $y$ sao cho $x+y=2k+1$ thì ta có $\binom{x+y}{2}=\frac{(x+y)(x+y-1)}{2}=k(x+y)=ax+by$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

+ TH2 : $a\neq b$.

   Đặt $L=\max\left \{ a;b \right \}$ ; $N=\min\left \{ a;b \right \}$ và $M=x+y$. Ta có :

   $\frac{(x+y)(x+y-1)}{2}=ax+by\Rightarrow N.M< \frac{M.(M-1)}{2}< L.M\Rightarrow 2N+1< M< 2L+1$  

   Mặt khác, $\binom{x+y}{2}=C_{x+y}^2=ax+by=a(x+y)+(b-a)y\Rightarrow C_{x+y}^2-a(x+y)\ \vdots\ (b-a)$

   Vậy có thể chọn sao cho $x+y\ \vdots\ 2(b-a)$ hay $M\ \vdots\ 2(L-N)$

   Tóm lại, có thể chọn $M$ sao cho $\left\{\begin{matrix}2N+1< M< 2L+1\\M\ \vdots\ 2(L-N) \end{matrix}\right.$

   Nhận xét rằng $2N+1$ và $2L+1$ không thể là bội số của $2(L-N)$ và trong đoạn $\left [ 2N+1;2L+1 \right ]$ có đúng $2(L-N)+1$ số tự nhiên nên chắc chắn sẽ có đúng $1$ số chia hết cho $2(L-N)$, đó chính là số $M$ cần chọn.

   Khi đó $\left\{\begin{matrix}y=\frac{\binom{M}{2}-a.M}{b-a}\\x=M-y \end{matrix}\right.$ $(^\ast )$

   Vậy, "quy trình" tìm $x$ và $y$ trong TH2 ($a\neq b$) như sau :

   - Gọi $N$ và $L$ lần lượt là số nhỏ nhất và lớn nhất trong $2$ số $a,b$

   - Tìm số $M$ thuộc $\left [ 2N+1;2L+1 \right ]$ và chia hết cho $2(L-N)$

   - Từ $M$, tìm được $x,y$ theo các công thức $(^\ast )$.

  
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-11-2020 - 09:54