Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-06-2014 - 18:45

Cho $a,b$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-11-2020 - 09:21

Cho $a,b$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$

Xét $2$ trường hợp :

+ TH1 : $a=b=k$.

   Khi đó, nếu chọn $x$ và $y$ sao cho $x+y=2k+1$ thì ta có $\binom{x+y}{2}=\frac{(x+y)(x+y-1)}{2}=k(x+y)=ax+by$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

+ TH2 : $a\neq b$.

   Đặt $L=\max\left \{ a;b \right \}$ ; $N=\min\left \{ a;b \right \}$ và $M=x+y$. Ta có :

   $\frac{(x+y)(x+y-1)}{2}=ax+by\Rightarrow N.M< \frac{M.(M-1)}{2}< L.M\Rightarrow 2N+1< M< 2L+1$  

   Mặt khác, $\binom{x+y}{2}=C_{x+y}^2=ax+by=a(x+y)+(b-a)y\Rightarrow C_{x+y}^2-a(x+y)\ \vdots\ (b-a)$

   Vậy có thể chọn sao cho $x+y\ \vdots\ 2(b-a)$ hay $M\ \vdots\ 2(L-N)$

   Tóm lại, có thể chọn $M$ sao cho $\left\{\begin{matrix}2N+1< M< 2L+1\\M\ \vdots\ 2(L-N) \end{matrix}\right.$

   Nhận xét rằng $2N+1$ và $2L+1$ không thể là bội số của $2(L-N)$ và trong đoạn $\left [ 2N+1;2L+1 \right ]$ có đúng $2(L-N)+1$ số tự nhiên nên chắc chắn sẽ có đúng $1$ số chia hết cho $2(L-N)$, đó chính là số $M$ cần chọn.

   Khi đó $\left\{\begin{matrix}y=\frac{\binom{M}{2}-a.M}{b-a}\\x=M-y \end{matrix}\right.$ $(^\ast )$

   Vậy, "quy trình" tìm $x$ và $y$ trong TH2 ($a\neq b$) như sau :

   - Gọi $N$ và $L$ lần lượt là số nhỏ nhất và lớn nhất trong $2$ số $a,b$

   - Tìm số $M$ thuộc $\left [ 2N+1;2L+1 \right ]$ và chia hết cho $2(L-N)$

   - Từ $M$, tìm được $x,y$ theo các công thức $(^\ast )$.

  
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-11-2020 - 09:54

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh