Chủ đề này có 7 trả lời

[John Carterer]

Sau đây là tuyển tập đề thi Olympic mình vừa sưu tầm được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi John Carterer: 29-06-2014 - 22:25

[John Carterer]

Trường: THPT Thoại Ngọc Hầu (An Giang)

Bài 1: Cho lục giác đều $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$ tâm $I$, hình tròn $(O;R)$ bất kì chứa $I$. Các tia $IA_{i}$ $(1\leq i\leq 6)$ cắt $(O)$ tại $B_{i}$  $(1\leq i\leq 6)$. Tính theo $R$ tổng:

$$IB{_{1}}^{2}+IB{_{2}}^{2}+IB{_{3}}^{2}+IB{_{4}}^{2}+IB{_{5}}^{2}+IB{_{6}}^{2}$$

Bài 2: Cho $n$ số: $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\in [0;1]$

Chứng minh rằng: $\left ( 1+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} \right )^{2}\geq 4\left (a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+a{_{3}}^{2}+...+a{_{n}}^{2} \right )$

Bài 3: $\Delta ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Chứng minh rằng:

$$a^{2}(1-\sqrt{3}cotgA)+ b^{2}(1-\sqrt{3}cotgB)+c^{2}(1-\sqrt{3}cotgC)\geq 0$$

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$$10+11^{x}+6^{x}=(\sqrt{3})^{y!}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi John Carterer: 29-06-2014 - 22:31

[John Carterer]

Sau đây là tuyển tập đề thi Olympic mình vừa sưu tầm được

Trường:THPT Lê Quý Đôn (BR-VT)

Bài 1: Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} \sqrt{x+30.4}+\sqrt{y-2001}=2121\\ \sqrt{x-2001}+\sqrt{y+30.4}=2121 \end{cases}$$

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ tùy ý, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$M=2\sqrt{3}sinBsinC+sinA-2(sinB + sinC)$$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, hãy dựng $\Delta XYZ$ nội tiếp $\Delta ABC$ $(X\in BC,Y\in CA,Z\in AB)$ sao cho $\Delta XYZ\sim \Delta ABC$ và $S_{XYZ}$ nhỏ nhất

Bài 4: Cho tập hợp $A$={${0,1,2,3,4,5}$}. Có bao nhiêu số gồm $8$ chữ số lấy từ $A$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

1.Chữ số $0$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần

2.Các số lập được đều phải chẵn và không bắt đầu bởi nhóm các chữ số $1,0,0,0$

[John Carterer]

Trường:THPT Chuyên Bạc Liêu

Bài 1: Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}^{+}$

$$\begin{cases} xyz=32\\ x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}=96 \end{cases}$$

Bài 2: Cho $A,B,C$ là 3 góc trong một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$M=sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot \sqrt{sin\frac{C}{2}}$$

Bài 3: Tồn tại hay không cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa:

$$(30a+b)(a+30b)=4^{2001}$$

Bài 4: Cho $P$ là điểm nằm trong $\Delta ABC$ sao cho

$$\widehat{APB}-\widehat{ACB}=\widehat{APC}-\widehat{ABC}$$

Gọi $D,E$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APB,ACP$.

Chứng minh $AP, BD, CE$ đồng quy

[John Carterer]

Trường:THPT Bến Tre

Bài 1:

a) Cho $\Delta ABC$ và $3$ số dương $x, y, z$. Chứng minh rằng:

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2yzcosA+2xzcosB+2xycosC$$

b) Tính các góc của $\Delta ABC$ biết:

$$\frac{140}{59}sin^{2}\frac{A}{2}+\frac{84}{59}sin^{2}\frac{B}{2}+\frac{60}{59}sin^{2}\frac{C}{2}=1$$

Bài 2: Cho phương trình $mx^{2} - mpx + p = 0$          $(m \neq 0)$

1. Tìm hệ thức giữa $p$ và $m$ để hai nghiệm của phương trình trên là $sin$ và $tang$ của một góc $\alpha$

2. Tính $m$ theo $\alpha$

3. Nếu $mp=-\frac{1}{2}$, tính $\alpha$

Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ sao cho với mọi số nguyên $k$, các số $m=k^{2} + k - 3a$ và $n=k^{2} + k + 1 - 3a$ đều không chia hết cho $2000^{2001}$

Bài 4: Chứng minh rằng: $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ ta có:

$$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})...(1+\frac{1}{n})< 3$$

 

[John Carterer]

Trường:THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

Bài 1: Cho $x, y, z\in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$$

Bài 2: Giải phương trình:

$$3(\sqrt{2x^{2}+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^{2}+1})$$

Bài 3: Cho $M$ nằm trong $\Delta ABC$. Đặt $x=MA$, $y=MB$, $z=MC$ và $p, q, r$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{p\cdot q\cdot r}\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})$$

Bài 4: Trên mặt phẳng cho $2001$ điểm, trong đó $3$ điểm bất kì không thẳng hàng. Nối hai điểm bất kì bởi một đoạn thẳng sao cho không có hai đoạn nào cắt nhau (tại các điểm khác hai đầu mút). Tìm số đoạn thẳng lớn nhất kẻ được

[John Carterer]

Trường:THPT Chuyên Trần Hưng Đạo (Bình Thuận)

Bài 1: Cho dãy số gồm $2n+1$ số nguyên dương liên tiếp sao cho tổng các bình phương của $n+1$ số hạng đầu bằng tổng các bình phương của $n$ số hạng còn lại. Hỏi trong dãy số đó có số $2001$ không?

Bài 2: Giả sử $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số: $\sqrt[n]{m}$, $\sqrt[m]{n}$ không vượt quá $\sqrt[3]{3}$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có: $\widehat{A}<\widehat{B}<\widehat{C}=90^{o}$. Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Biết $\Delta BIO$ vuông, hãy tính tỉ số giữa độ dài các cạnh $\Delta ABC$

[John Carterer]

Trường:THPT Chuyên Lý Tự Trọng (Cần Thơ)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$f\left ( x,y,z \right )= \frac{\left | 2001\cdot 2002-xy \right |}{(x+y)z}+\frac{\left | 2001\cdot 2002-yz \right |}{(y+z)x}+\frac{\left | 2001\cdot 2002-zx \right |}{(z+x)y}$$

$\forall x, y, z\in \left [ 2001;2002 \right ]$

Bài 2: Giả sử $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - mx + 1 = 0$ với $m$ là số nguyên lớn hơn $3$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì: $S_{n}= x{_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}$ là số nguyên và không chia hết cho $m-1$

Bài 3: Giải phương trình: 

$$\left ( 8x^{3} +1\right )^{3}=162x-27$$

Bài 4: Trên đường tròn $(O;R)$ cho năm điểm phân biệt $A, B, C, D, E$ theo thứ tự đó sao cho $AB = BC = DE = R$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AE$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của chu vi $\Delta BMN$