Đến nội dung

Hình ảnh

A=$\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x).(1-y)}$

tìm gtnn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
dhdhn

dhdhn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết

Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn x3+y3=1.Tìm min

  A=$\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x).(1-y)}$


 ------Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng!-------


#2
vanhuongsky

vanhuongsky

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Đặt $x+y=2t \Rightarrow 1=x^{3}+y^{3}=(x+y)^3-3xy(x+y) \Rightarrow 1=8t^{3}-6xyt \Rightarrow t^{2}=(\frac{x+y}{2})^2\geq xy=\frac{8t^{3}-1}{6t}$ $\Rightarrow 0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $

Ta có :

 $A=\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}=\frac{2(x+y)^2+2(x-y)^2}{((1-x)+(1-y))^2-((1-x)-(1-y))^2}\geq \frac{2(x+y)^2}{(2-(x+y))^2}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2(2t)^2}{(2-2t)^2}=\frac{2t^{2}}{(1-t)^2}$

Do $0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ nên $\Rightarrow \sqrt{\frac{A}{2}}= \frac{t}{1-t}=\frac{1}{1-t}-1\geq \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{(\sqrt[3]{2}-1)^2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhuongsky: 30-06-2014 - 02:37

                                                Trai gái là phù du                                                  :icon10: 

                                                Math.kudo là tất cả                                                :ukliam2: 

 


#3
dhdhn

dhdhn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết

Đặt $x+y=2t \Rightarrow 1=x^{3}+y^{3}=(x+y)^3-3xy(x+y) \Rightarrow 1=8t^{3}-6xyt \Rightarrow t^{2}=(\frac{x+y}{2})^2\geq xy=\frac{8t^{3}-1}{6t}$ $\Rightarrow 0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $

Ta có :

 $A=\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}=\frac{2(x+y)^2+2(x-y)^2}{((1-x)+(1-y))^2-((1-x)-(1-y))^2}\geq \frac{2(x+y)^2}{(2-(x+y))^2}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2(2t)^2}{(2-2t)^2}=\frac{2t^{2}}{(1-t)^2}$

Do $0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ nên $\Rightarrow \sqrt{\frac{A}{2}}= \frac{t}{1-t}=\frac{1}{1-t}-1\geq \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{(\sqrt[3]{2}-1)^2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Bạn làm như vậy ở phần cuối bị sai, $t\leq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\Rightarrow 1-t\geq 1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{1}{1-t}-1\leq \frac{1}{1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}-1$ mình cũng bị nhầm kiểu này nên làm mãi không ra.


 ------Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng!-------






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tìm gtnn

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh