Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn x3+y3=1.Tìm min
A=$\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x).(1-y)}$
Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn x3+y3=1.Tìm min
A=$\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x).(1-y)}$
------Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng!-------
Đặt $x+y=2t \Rightarrow 1=x^{3}+y^{3}=(x+y)^3-3xy(x+y) \Rightarrow 1=8t^{3}-6xyt \Rightarrow t^{2}=(\frac{x+y}{2})^2\geq xy=\frac{8t^{3}-1}{6t}$ $\Rightarrow 0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $
Ta có :
$A=\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}=\frac{2(x+y)^2+2(x-y)^2}{((1-x)+(1-y))^2-((1-x)-(1-y))^2}\geq \frac{2(x+y)^2}{(2-(x+y))^2}$
$\Rightarrow A\geq \frac{2(2t)^2}{(2-2t)^2}=\frac{2t^{2}}{(1-t)^2}$
Do $0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ nên $\Rightarrow \sqrt{\frac{A}{2}}= \frac{t}{1-t}=\frac{1}{1-t}-1\geq \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$
$\Rightarrow A\geq \frac{2}{(\sqrt[3]{2}-1)^2}$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhuongsky: 30-06-2014 - 02:37
Trai gái là phù du
Math.kudo là tất cả
Đặt $x+y=2t \Rightarrow 1=x^{3}+y^{3}=(x+y)^3-3xy(x+y) \Rightarrow 1=8t^{3}-6xyt \Rightarrow t^{2}=(\frac{x+y}{2})^2\geq xy=\frac{8t^{3}-1}{6t}$ $\Rightarrow 0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $
Ta có :
$A=\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}=\frac{2(x+y)^2+2(x-y)^2}{((1-x)+(1-y))^2-((1-x)-(1-y))^2}\geq \frac{2(x+y)^2}{(2-(x+y))^2}$
$\Rightarrow A\geq \frac{2(2t)^2}{(2-2t)^2}=\frac{2t^{2}}{(1-t)^2}$
Do $0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ nên $\Rightarrow \sqrt{\frac{A}{2}}= \frac{t}{1-t}=\frac{1}{1-t}-1\geq \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$
$\Rightarrow A\geq \frac{2}{(\sqrt[3]{2}-1)^2}$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Bạn làm như vậy ở phần cuối bị sai, $t\leq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\Rightarrow 1-t\geq 1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{1}{1-t}-1\leq \frac{1}{1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}-1$ mình cũng bị nhầm kiểu này nên làm mãi không ra.
------Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng!-------
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm GTNN của PBắt đầu bởi Monkey Moon, 13-02-2019 toán 9, đại số, tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm GTNN của ABắt đầu bởi Monkey Moon, 12-02-2019 đại số, toán 9, tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNNBắt đầu bởi chuong4989, 09-01-2018 tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Cho a + b \leq 5.Tìm GTNN,GTLN của biểu thức A = \frac{3x+7}{x+2} - \frac{1+6y}{2y+1}Bắt đầu bởi Loca Phan, 12-11-2017 toán 9, đại số, tìm gtnn |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTNN của P = $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}$Bắt đầu bởi trankimtoan1975, 05-04-2017 tìm gtnn |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh