Chủ đề này có 7 trả lời

[phucryangiggs11]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 30-06-2014 - 18:07

[yeutoan2604]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$

Đề thi cấp 3 sáng nay ở thanh hóa :v

[phucryangiggs11]

vậy cậu có làm được ko? làm thế nào, tớ ko làm đk

[kanashini]

Đặt $a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt[3]{y};c=\sqrt[3]{z}$

$\rightarrow abc=1$

Ta có: $a^{3}+b^{3}+1\geq ab(a+b+c)$

$\rightarrow \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$

TT, cộng theo vế -->đpcm

[phucryangiggs11]

Đặt $a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt[3]{y};c=\sqrt[3]{z}$

$\rightarrow abc=1$

Ta có: $a^{3}+b^{3}+1\geq ab(a+b+c)$

$\rightarrow \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$

TT, cộng theo vế -->đpcm

cậu làm giống y như bạn tớ làm vậy. có ai có cách làm khác ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phucryangiggs11: 30-06-2014 - 17:36

[megamewtwo]

Ta có : ĐPCM $\sum \left ( 1+b+c \right )\left ( 1+a+c \right )\leq \left ( 1+a+b \right )\left ( 1+a+c \right )\left ( 1+b+c \right )$

$\Leftrightarrow 2+2\left ( a+b+c \right )\leq 2abc+a^{2}\left ( b+c \right )+b^{2}\left ( a+c \right )+c^{2}\left ( a+b \right )\Leftrightarrow 2\left ( a+b+c \right )\leq \sum a^{2}\left ( b+c \right )$

Ta có : $3\sum a\sqrt{a}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{a} \right )$

$\sum a^{2}bc\geq 2a^{2}\sqrt{bc}= 2\sum a\sqrt{a}\geq \frac{2}{3}\left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{a} \right )\geq 2\sqrt[3]{\sqrt{abc}}\left ( a+b+c\right )= 2\left ( a+b+c \right )$

Cách này phức tập hơi quá  

[hoangmanhquan]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$

Cách này cũng có thể coi là giống cách của http://diendantoanho...0032-kanashini/

Đặt: $a=x^3$, $x=b^3$, $y=c^3$

$=>abc=1$

Khi đó, ta có:

$Q=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}$

$\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+1}$

$=\sum \frac{abc}{a^2b+ab^2+abc}$

$=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Dấu $"="$ xảy ra $<=>a=b=c=1$

                            $<=>x=y=z=1$    

[bestmather]

cậu làm giống y như bạn tớ làm vậy. có ai có cách làm khác ko?

$Q=3-(\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{y+z}{y+z+1}+\frac{x+z}{x+z+1})=3-P$

=)cần tìm min của P

Theo S-vác $P\geq \frac{(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})2}{2x+2y+2z+3}$

$(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})2=2x+2y+2z+2\sqrt{x+y}.\sqrt{y+z}+2\sqrt{y+z}.\sqrt{z+x}+2\sqrt{z+x}.\sqrt{x+y}\geq 2x+2y+2z+2(y+\sqrt{xz})+2(x+\sqrt{yz})+2(z+\sqrt{xy})\geq 4x+4y+4z+3\sqrt[3]{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=4x+4y+4z+6$

$\Rightarrow P\geq 2\Rightarrow Q\leq 1$

P/s: cuối giờ mới nghĩ ra cách này, vui quá đi mất !!!