SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10
QUẢNG NINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
--------------------------- NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN :TOÁN
(Dành cho HS chuyên Toán+Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
Câu 1:(2,5đ)
Cho $A=\left ( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}} +\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right ):\left ( 1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right )\forall x\geq 0;x\neq 4;9$
1.Rút gọn $A$
2.Tìm $x$ để $\frac{1}{A}$ MIN và tìm GTNN đó
Câu 2(2,5đ)
1.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-y^{2}=1 & \\ xy+x^{2}=2& \end{matrix}\right.$
2.Giải phương trình:$x^{2}+\frac{4x^{2}}{(x+2)^{2}}=5$
Câu 3(1,5đ)
Cho $a,b,c$ là 3 số đôi một khác nhau và $c$ khác $0$.CMR:phương trình $x^{2}+ax+bc=0$ và phương trình $x^{2}+bx+ac=0$ có $1$ nghiệm chung thì nghiệm còn lại của $2$ phương trình đó là nghiệm của phương trình $x^{2}+cx+ab=0$
Câu 4(3,5đ)
Cho $\Delta ABC(AC>AB)$ có đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ chia góc $BAC$ thành $3$ góc bằng nhau
1.Chứng minh $\Delta ABC$ vuông tại $A$
2.Gọi $O$ là giao 2 phân giác trong $BI;CJ$ của góc $B;C$ của tam giác $ABC$.CM :$OB.OC=IB.CJ$
3.Cho $\Delta DEF$ nội tiếp $\Delta ABC(D,E,F\in BC,CA,AB)$ thoả mãn $DEF$ vuông tại $D$ có $1$ góc nhọn bằng $30^{\circ}$.Xác định vị trí của $D,E,F$ trên các cạnh tam giác $ABC$ để $S_{DEF}$ đạt Min
Câu 5(1đ)Cho $a,b,c>0;a+b+c\leq 1$.CMR:
$\frac{1}{a^{2}+2bc}+\frac{1}{b^{2}+2ca}+\frac{1}{c^{2}+2ab}\geq 9$
---------------------------Hết--------------------------------------- Họ và tên thí sinh:........................SBD:...................
Câu 1: Thì không phải nói.
Câu 2: Thì ở trong sách Nâng cao và phát triển toán 9 của Vũ Hữu Bình.
Câu 3: Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:
$(a-b)(x-c)=0$
Vì a-b$\neq0$ => x=c. Vậy x=c là nghiệm chung của hai PT.
Gọi nghiệm còn lại của (1) là $x_{1}$ và nghiệm còn lại của (2) là $x_{2}$.
Theo Vi-ét ta có : $xx_{1}=bc$ và $xx_{2}=ac$ mà x=c ( $c\neq 0$)
=> $x_{1}=b ; x_{2}=a$.
Thế x=c vào (1) ta được: $c^{2}+ac+bc=0\Leftrightarrow c(a+b+c)=0$ mà $c\neq 0\Rightarrow a+b+c=0$
*)Thế $x_{1}=b$ vào (3) ta được: $b^{2}+cb+ab=0\Leftrightarrow b(a+b+c)=0$ mà a+b+c=0 $\Rightarrow$ x=b là 1 nghiệm của (3)
Tương tự với $x_{2}=a$
Suy ra điều phải chứng minh
Câu 5: Sử dụng BĐT S-Vác: $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}+\frac{z^{2}}{p}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{m+n+p}$ Dấu = xảy ra khi x=y=z
Ta được: $\frac{1}{a^{2}+2bc}+\frac{1}{b^{2}+2ca}+\frac{1}{c^{2}+2ab}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq 9$ (vì a+b+c$\leq 1$)
Suy ra đpcm
Câu 4: Mình không biết vẽ hình thông cảm 
a) Vì AB<AC => H nằm giữa B và M
Xét $\Delta ABM$ có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác $\Delta ABM$ cân tại A.
=> HB=HM. Xét $\Delta AHC$ có AM là phân giác $\Rightarrow \frac{HM}{MC}=\frac{AH}{AC}=\frac{1}{2}$ (vì $HM=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}MC$)
=> $\widehat{HAC}=60^{\circ} \Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}$
=> đpcm
b)
Câu b) bạn viết nhầm đề bài rồi OB.OC không thể = IB.CJ được
c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của F và E trên BC
Ta có: $S_{DEF}=\frac{1}{2}DE.DF=\frac{\sqrt{3}}{8}EF^{2}$ (vì $\Delta DEF$ có $\widehat{D}=90^{\circ}$ và $\widehat{E}=30^{\circ}$)
Ta có : $DK=sin_{\widehat{DEK}}.DE=sin_{\widehat{DEK}}.\frac{1}{2}EF$
$BH=\frac{1}{\sqrt{3}}.FH=\frac{1}{\sqrt{3}}sin_{\widehat{FDB}}.FD=\frac{1}{\sqrt{3}}.sin_{\widehat{FDB}}.\frac{\sqrt{3}}{2}EF=\frac{1}{2}.sin_{\widehat{FDB}}.EF$
Mà $\widehat{DEK}=\widehat{FDH}$ (cùng phụ với $\widehat{KDE}$\
Suy ra BH=DK $\Rightarrow$ $HK=\frac{1}{2}BC$
$EF\geq HK=\frac{1}{2BC}$
$\Rightarrow S_{DEF}=\frac{\sqrt{3}}{8}EF^{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{8}.\frac{1}{4}BC^{2}=\frac{\sqrt{3}}{32}BC^{2}$
P/s: Like ủng hộ mình nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 02-07-2014 - 16:23
