Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=1$
CMR: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\geq 8((ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2})^{2}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=1$
CMR: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\geq 8((ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2})^{2}$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=1$
CMR: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\geq 8((ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2})^{2}$
Solution: Viết lại bđt ở dạng đồng bậc là
$$\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2} \right )\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 8\left ( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )^{2}$$
Ta có $\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2} \right )=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )-a^{2}b^{2}c^{2}$
Do đó bất đẳng thức tương đương
$$\left ( \sum a^{2}b^{2} \right )\left [\left ( a+b+c \right )^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right ) -8\left (a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right ) \right ]\geq a^{2}b^{2}c^{2}\left ( a+b+c \right )^{2}$$
Xét
$$\left ( a+b+c \right )^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right ) -8\left (a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )=\left ( \sum a^{2} \right )^{2}+2\left ( \sum ab \right )\left ( \sum a^{2} \right )-8\left ( \sum a^{2}b^{2} \right )$$
$$=\sum a^{4}+2\left [ \sum ab\left ( a^{2}+b^{2} \right )+abc(a+b+c) \right ]-6\sum a^{2}b^{2}$$
$$=\left ( \sum a^{2}(a-b)(a-c) \right )+3\sum ab\left ( a^{2}+b^{2} \right )-6\sum a^{2}b^{2}+abc(a+b+c)\geq abc(a+b+c)$$
(Sử dụng Schur và $AM-GM$).
Do đó ta cần chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq abc\left ( a+b+c \right )$
HIển nhiên đúng!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 04-07-2014 - 07:17
Solution 2: Sử dụng Cauchy-Schwarz
$$2\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2} \right )=\left [ \left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2} \right ]\left [ \left ( c^{2}+ab \right )^{2}+c^{2}\left ( a-b \right )^{2} \right ]\geq$$
$$ \left [ \left ( a+b \right )\left ( c^{2}+ab \right )+c\left ( a-b \right )^{2} \right ]^{2}=\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-2abc \right ]^{2}$$
Ta sẽ chứng minh bđt mạnh hơn là
$$\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-2abc \right ]\left ( a+b+c \right )\geq 4\left ( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )$$
Tương đương với $ab(a-b)^{2}+bc(b-c)^{2}+ca(c-a)^{2}\geq 0$
Ta có đpcm!
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=1$
CMR: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\geq 8((ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2})^{2}$
Cũng như cách làm trên, nhưng đoạn dưới có chỗ hơi khác :
Sau khi chứng minh $\prod (a^2+b^2) \geqslant (a^2+b^2+c^2-abc)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Ta cần chứng minh $a^2+b^2+c^2-abc\geqslant 8(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Biến đổi kiểu $p,q,r$ và chú ý giả thiết ta có $p=1$
Ta cần chứng minh $8q^2+2q-15r-1 \leqslant 0$
+) Nếu $q\leqslant \frac{1}{4}\Rightarrow 8q^2+2q-15r-1=(2q+1)(4q-1)-15r\leqslant 0$
Vậy ta có đpcm
+) Xét $q\geqslant \frac{1}{4}$
Áp dụng Schur bậc $3$ ta có $r\geqslant \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}$
Do đó $8q^2+2q-15r-1\leqslant 8q^2+2q-\frac{15(4q-1)}{9}-1=(2q-\frac{2}{3})(4q-1)\leqslant 0$
Vì $q=ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $3a=3b=3c=1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh