Chủ đề này có 2 trả lời

[caokhanh97]

Cho $x, y, z, t$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=4$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $\mathbb{P} =\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+ \frac{y^{2}}{\sqrt{z}}+ \frac{z^{2}}{\sqrt{t}}+\frac{t^{2}}{\sqrt{x}}$

$\sum \frac{x^{^{2}}}{\sqrt{y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 02-07-2014 - 11:09

[tuananh2000]

Cho $x, y, z, t$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=4$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $\mathbb{P} =\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+ \frac{y^{2}}{\sqrt{z}}+ \frac{z^{2}}{\sqrt{t}}+\frac{t^{2}}{\sqrt{x}}$

$\sum \frac{x^{^{2}}}{\sqrt{y}}$

$P=\sum \frac{x^{4}}{x^{2}\sqrt{y}}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum x^{2}\sqrt{y}}\geq \frac{2(\sum x^{2})^{2}}{\sum x^{4}+\sum x}=\frac{32}{4+\sum x}\geq \frac{32}{4+4}=4(P/S: \sum x \leq 4$ theo $B.C.S)$

[hoctrocuanewton]

Cho $x, y, z, t$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=4$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $\mathbb{P} =\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+ \frac{y^{2}}{\sqrt{z}}+ \frac{z^{2}}{\sqrt{t}}+\frac{t^{2}}{\sqrt{x}}$

 

Áp dụng BĐT schwars ta có :

$\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{y}}=\sum \frac{x^{4}}{x^{2}\sqrt{y}}\geqslant \sum \frac{4x^{4}}{x^{2}+x^{2}+x^{2}+x^{2}y^{2}}\geqslant \frac{4(\sum x^{2})^{2}}{3\sum x^{2}+\sum x^{2}y^{2}}\geqslant \frac{4(\sum x^{2})^{2}}{3\sum x^{2}+\frac{(\sum x^{2})^{2}}{4}}= \frac{64}{12+4}=4$

 

Vậy $MinP=4$ và dấu bằng xảy ra khi x=y=z=t=1